【课件】27.2垂径定理(第1课时).ppt

* 2、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等, 所对的弦的弦心距相等。 1、圆是旋转对称图形,也是中心对称图形， 圆心是它的对称中心。 四者关系定理 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么? 结论1： 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 强调： 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ） X （1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴; （2）圆的对称轴有无数条． O C D 在刚才操作的基础上,再作一条和直径CD垂直的弦AB,AB 与CD相交于点E,然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠,你 发现哪些点、线互相重合?哪些圆弧相等? A B E ② AC=BC，AD=BD． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ O C D 得出结论： ①EA=EB； 理由如下：∵∠OEA=∠OEB=90°， 根据圆的轴对称性，可得线段EA与EB重合， ∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合． ∴ EA=EB， AC= BC， AD=BD． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 思考：你能利用等腰三角形的性质，说明OC平分AB吗？ 如图,连结OA,OB,则OA=OB. ●O A B C D M└ 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴∠AOC=∠BOC, ⌒ ⌒ ∴AC =BC, ⌒ ⌒ 　∴AD = BD. 在同圆中能够重合的弧叫等弧 探 索 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 垂径定理的几何语言叙述: ∵CD为直径，CD⊥AB（或OC⊥AB） ∴ EA=EB， AC=BC， AD=BD． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 结论2： A 条件 CD为直径 CD⊥AB CD平分弧ADB CD平分弦AB CD平分弧A B 结论 分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点. E C D B O ●O A B C D M└ 基本图形 例1：已知AB如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点。 ⌒ E 1.连结AB; ⌒ 2.作AB的垂直平分线CD,交AB与点E; 作法: ∴点E就是所求AB的中点. ⌒ 分析:要平分AB,只要画垂直于弦AB的直径.而这条直径应在弦AB的垂直平分线上.因此画AB的垂直平分线就能把AB平分. ⌒ ⌒ 变式： 求弧AB的四等分点． C D A B E F G m n 例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。 D C 10 8 8 解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC=1/2AB=0.5×16=8 由勾股定理得: 答:截面圆心O到水面的距离为6. 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距. 例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距. 想一想:排水管中水最深多少? 想一想：在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的弦心距之间有什么关系？ 1、已知⊙O的半径为13cm，一条弦的弦心距为5cm， 求这条弦的长. 答:在同一个圆中， 弦心距越长,所对应的弦就越短; 弦心距越短,所对应的弦就越长. C 5 13 A B O D . 小结： 1．作弦心距和半径是圆中常见的辅助线； ． O A B C r d 2 ．半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系： 2、已知⊙O的半径为10cm，点P是⊙O内一点，且OP=8，则过点P的所有弦中，最短的弦是（ ） (A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm D 10 8 6 3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径. 3 3 1 4、已知：如图在⊙O中，弦AB//CD。 求证： AC=BD ⌒ ⌒ * * *