第4章 数值积分.ppt

第四章 数值积分 1. 插值型求积公式 2. 代数精度 3. 牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)公式 4. 梯形公式、辛卜生(Simpson)公式 5. 复化求积公式 6. 龙贝格Romberg公式(逐次分半加速法)。 7. 高斯（Gauss）型求积公式* 4.1.2 插值型求积公式 两个低阶插值积分公式 1. 梯形公式 2. 抛物线公式或辛卜生(Simpson)公式 §4.2 牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式 柯特斯系数 Newton-Cotes公式 4.3 复化求积公式 复化梯形公式、复化辛卜生公式 4.3.3 误差的事后估计与步长的自动选择 4.4 龙贝格(Romberg)算法 4.5 高斯（Gauss）型求积公式* n xk(n) Ak(n) Rn 1 0 2 ±0.5773503 1 3 ± 0.7745967 5/9=0.5555556 0 8/9=0.8888889 4 ± 0.8611363 0.3478548 ± 0.3399810 0.6521452 5 ± 0.9061799 0.2369269 ± 0.5384693 0.4786287 0 0.5688889 §6 数值微分 对于一般的插值求积公式 （4.15） 只要适当地选取其2n+2个待定参数 xk 和 ,就可使它的代数精度达到2n+1次。 定义4.3 若插值求积公式（4.15）具有2n+1次代数精度，则称之为高斯求积公式，并称相应的求积节点 为高斯点。 可以证明，n+1个节点的高斯求积公式具有不超过2n+1次的代数精度，这就是我们所要讨论的具有最高代数精度的插值型求积公式。 4.6.2 高斯求积公式的构造与应用 像构造两点高斯求积公式(4.14)一样,对于插值 型求积公式(4.15), 分别取 用待定系数法来确定参数xk和 从而构造n+1个点高斯求积公式。但是，这种做法 要解一个包含2n+2个未知数的非线性方程组，其 计算工作量是相当大的。一个较简单的方法是： 先利用区间?a,b?上的n+1次正交多项式确定高斯点 (2) 然后利用高斯点确定求积系数 就可将求积区间?a,b?变换到?-1,1?上，这时 即有 其中 插值求积公式节点一经确定，相应的求积系数就确定了，因此关键在于确定节点。 为简单起见, 将求积公式(4.15)的求积区间?a,b?转换成?-1,1?的形式，作变换 定理4.5 节点 是高斯点的充要 条件是：以这些点为零点的多项式 与任意次数不超过n的P(x)均正交 (4.16) 由定理4.5可知,如能找到满足公式(4.16)的n+1次多项式 ,则求积公式的高斯点就确定了，进而就可确定相应的高斯求积公式。为此需要引入勒让得（Legendre）多项式及其相关结论 定义4.4 一个仅以区间?-1,1?上的高斯点 为零点的n+1次多项式称为Legendre多项式。 定理4.6 若 是高斯点，则以这些点为根的多项式 是最高次幂系数为1的勒让得多项式 ，即 其中 从定理可以看出,当n给定,xk就确定了。P122表4-7给出当积分区间是?-1,1?时，2个点至5个点的高斯求积公式的节点、系数和余项,其中 ?-1,1?，需要时可以查用。 Gauss- Legendre 点及系数表 例4.17 利用三点高斯求积公式计算 的近似值。 由所求公式得 高斯求积公式是高精度求积公式，其求积系数， ,求积公式也是数值稳定的。 3 ± 0.7745967 5/9=0.5555556 0