第6章 线性方程组的迭代法.ppt

第六章 解线性方程组的迭代法 §6.2 雅可比（Jacobi）迭代法 §6.2 雅可比（Jacobi）迭代法 § 6.3 高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法 § 6.4 超松弛迭代法（SOR方法） § 6.5 迭代法的收敛性 §5.7 向量和矩阵的范数 定义5.2 对任一向量X?Rn, 按照一定规则确定一个实 数与它对应, 该实数记为||X||, 若||X||满足下面三个 性质: 在Rn中，常用的几种向量范数有： 当不需要指明使用哪一种向量范数时，就用记号||.||泛指任何一种向量范数。 有了向量的范数就可以用它来衡量向量的大小和表示向量的误差。 设x*为Ax=b的精确解，x为其近似解，则其绝对误差可表示成||x-x* ||，其相对误差可表示成 定义5.5（矩阵的范数）如果矩阵 的某个非负的实值函数 ，满足 若 ,则迭代公式 收敛,且有误差估计式 及 证: 矩阵的谱半径不超过矩阵的任一种范数,即 根据 定理5 可知迭代公式收敛。 定理6 (迭代法收敛的充分条件) 因为 , 故 x＝Gx＋d 有惟一解 , 即 两边取范数 与迭代过程 相比较, 有: ① 由迭代格式，有 两边取范数，得 证毕 ② 由定理知，当 时迭代收敛， 值越小，迭代收敛越快，在程序设计中通常用相邻两次迭代 （ε为给定的精度要求）作为 控制迭代结束的条件，只要迭代收敛与初值无关。 例5 已知线性方程组 考察用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代求解时的收敛性 解: ⑴ 雅可比迭代矩阵 例5 已知线性方程组，考察 Jacobi 迭代的收敛性 故 Jacobi 迭代收敛 解: 雅可比迭代矩阵 ⑵ 高斯-塞德尔迭代，系数矩阵 高斯-塞德尔迭代矩阵 高斯-塞德尔迭代矩阵 故高斯—塞德尔迭代收敛。 定理7 设n阶方阵 为严格对角占优阵, 则 A为非奇异阵。 证: 因A为对角占优阵, 其主对角元素的绝对值大 于同行其它元素绝对值之和, 且主对角元素 全不为0, 故对角阵 为非奇异。 作矩阵 利用对角占优知 由定理知 非奇异,从而A非奇异,证毕 系数矩阵为严格对角占优矩阵的线性方程组称为对角占优方程组。 结论： 严格对角占优线性方程组 的雅可比 迭代公式和高斯-赛德尔迭代公式均收敛。 例6 设 证明, 方程组 的Jacobi迭代与G-S迭代同时收敛或发散 证:雅可比迭代矩阵 其谱半径 例6 设 证明, 方程组 的Jacobi迭代与G-S迭代同时收敛或发散 G-S迭代矩阵 G-S迭代矩阵 其谱半径 显然, 和 同时小于、等于或大于1,因而Jacobi 迭代法与G-S迭代法具有相同的收敛性 。 例 7 考察用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法 解线性方程组 Ax =b 的收敛性，其中 解： 先计算迭代矩阵 说明什么问题？ 求特征值 雅可比矩阵 ∴ 用雅可比迭代法求解时，迭代过程收敛 ? ( B ) = 0 1 ?1=0,?2 =2,?3 =2 ?(G1)=21 ∴用高斯-塞德尔迭代法求解时，迭代过程发散 高斯-塞德尔迭代矩阵 求特征值 ∴ Ax=b的系数矩阵按行严格对角占优,故高斯-塞德尔迭代收敛 例8 设有迭代格式 X(k+1)=B X(k) +g (k=0,1,2……） 其中B=I-A, 如果A和B的特征值全为正数，试证：该迭代格式收敛。 分析:根据A， B和单位矩阵I之间的特征值的关系导出?(B)1, 从而说明迭代格式收敛。 证: 例9 设 方程组 写出解方程组的Jacobi迭代公式和迭代矩阵 并讨论迭代收敛的条件。 写出解方程组的Gauss-Seidel迭代矩阵,并讨 论迭代收敛的条件。 例9 设 方程组 写出解方程组的Jacobi迭代公式和迭代矩阵 并讨论迭代收敛的条件。 解 ① Jacobi迭代公式和Jacobi矩阵分别为 例 9 设 方程组 写出解方程组的Gauss-Seidel迭代矩阵，并讨论 迭代收敛的条件。 Gauss-Seidel格式，对任意初