第6章 解线性方程组的直接方法.ppt

注意到 是可逆的且为主对角元全为1的下三角阵，而有限个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵，故可令 则得： ， 或 . 高斯消去法的回代过程就是求解 . 又由可得： ，这说明 在 的条件下，通过高斯消去法可以把方程组(5. 1)的系数矩阵A分解为单位下三角阵和上三角阵的乘积，称 为 的分解. 总结上述讨论得到下面定理 定理5.1(矩阵的LU分解) n阶方阵的n个顺序主子矩阵都非奇异，则矩阵可唯一分解为单位下三角矩阵与上三角知阵的乘积 证明 由上述的讨论，存在性已得证，现在证唯一性. 设 , 其中 为单位下三角阵， 为上三角阵，设 存在 . 于是有 上式右端为上三角矩阵，左边为单位下三角阵，故应为单位矩阵. 即 . 由上述讨论知，解的高斯消去法相当于实现了的三角分解，如果我们能直接从矩阵的元素得到计算的元素的公式，实现的三角分解，而不需要任何中间步骤 那么求解 的问题就等价于求解两个三角形矩阵方程组 (1) ，求 ； (2) ，求 . 下面来说明 的元素 可以由A的元素直接计算确定. 显然，由矩阵乘法 得到的第一行元素；由 得 即的第一列元素. 设已经求出U的第1行~第r-1行元素，L的第1列~第r-1列元素，由矩阵乘法可得： 即可计算出 的第 行元素， 的第 列元素. 综上所述，可得到用直接三角分解法解的计算公式. (1) (5.13) (5.14) 对于 时 (2)计算 的第 行元素 （5.15） (3)计算L的第r列元素 （5.16） (1 ) 、(2)、(3)是矩阵 的 分解公式,称为杜利特尔(Doolitte)分解. （5） （5.17） 1 （4） 1 5.3 解三对角线方程组的追赶法 在实际问题中，例如解常微分边值问题、解热传导方程等，经常遇到以下形式的方程组 这种方程组的系数矩阵称为三对角矩阵 三、解三对角方程组的追赶法 在数值求解常微分方程边值问题、热传导方程和建立三次样条函数时，都会要解三对角方程组：AX=b 并且满足 下面讨论三角分解 比较两边得到 解三对角方程组的追赶法 练习 用追赶法求解三对角线性方程组AX=b，其中 * 第5章 解线性方程组的直接方法 研究的问题： 1 高斯消去法 2 矩阵的LU分解 3 解三对角线方程组的追赶法 5.1 高斯消去法 高斯(Gauss)消去法是解线性方程组最常用的方法之一，就是求解多元一次方程组的一种消去法(消元法)，它的基本思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解. 先讨论三角形方程组的解法. 三角形方程组是指下面两种形式的方程组 下三角形方程组（5.2） 下三角形方程组的解（5.4） 此过程称为前推过程. 和上三角形方程组 （5.3） 同样地，上三角形方程组的解（5.5） 此过程称为回代过程. 5.1.1高斯消去法的基本方法 先以一个三阶线性方程组为例来说明高斯消去法的基本思想. 回代公式(5.5)得 x3= -2，x2 = 5，x1 = -3 下面考察一般形式的线性方程组(5.6)的解法 如果 , 令 用-li1乘第一个方程加到第i个方程上得方程组(5.6)的同解方程组(5.7)： 其中 由方程(5.6)到(5.7)的过程中，a11元素起着重要的作用，特别地，把a11称为主元素. 如果(5.7)中，则a(2)22以为主元素，又可以把方程组(5.7)化为（5.8） 针对(5.8) 继续消元，重复同样手段，第步后化为如下的同解方程组为 设 ，令 用 第 个方程分别