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章末总结（单元末） 知识梳理 【知识网络】 答案：①形如（a≥0）的式子叫做二次根式 ②a ③ ④ ⑤分母 ⑥2 ⑦⑧ ⑨合并同类项 专题整理 【专题讲座】 专题一二次根式的概念及其有意义的条件 1.二次根式是形如的式子，其中a≥0. 二次根式的概念包括两个方面:一是含有二次根号,二是被开方数是非负数. 2.利用二次根式的概念和有意义的条件可以确定字母的取值范围或者求出字母的取值. 3.二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0,如果被开方数中含有分母,或者分母中含有二次根式,还要保证分母不为0. 例1+=0，求xy的值是多少？ 解析:任何有理数的绝对值是非负数,二次根式也是非负数,如果两者的和为0,则这两个数都为0. 解：∵+=0， 又∵≥0且≥0， ∴=0且=0； 即x+3=0且y-5=0 解得x=-3,y=5 ∴xy=-15. 专题二二次根式的性质 1.二次根式的反身性: =a，(a≥0). 即一个非负数的算术平方根的平方等于本身. 2.积的算术平方根：. 二次根式积的算术平方根等于它们的算术平方根的积. 3.商的算术平方根： 二次根式商的算术平方根等于它们的算术平方根的商.这些性质是进行二次根式化简和计算的重要依据. 例2实数a、b在数轴上对应点的位置如图22-1所示： 化简|a-b|-()2． 解析：通过本题渗透数形结合的思想，进一步巩固二次根式的定义、性质，引导学生分析：由于a＜0，b＞0，且︱a︱＞︱b︱,所以|a-b|=b-a,()2=-a. 解: |a-b|-()2=b-a-(-a)=b-a+a=b. 专题三二次根式的化简 1.二次根式的化简要考虑最简二次根式的两个条件，根号内是多项式时，要考虑是否是完全平方式,如果是完全平方式就要根据二次根式的非负性开方出来. 2.化简时，要考虑字母a的取值范围. =|a|. 当a≥0时，=a; 当a＜0时，=-a. 3.把根号内的因式移到根号外要根据字母的取值范围确定根号外的因式的书写方法，如果根号内字母的取值是负数，移到根号外时要在负数的前面添加负号． 4.字母从根号外移到根号内，应特别注意其正负情况，是正数则可以平方后直接移到根号内，与根号内的被开方数相乘，是负数则应整理后再做移动. 例3.已知mn﹤0,化简 解析： 将m移至根号外应考虑m的符号，由于mn﹤0,即m、n异号，因为m≥0，≥0，所以n＞0，这样就可以将m移至根号外了. 解：由知，≥0，而mn﹤0，∴m﹤0,n﹥0∴原式=-． 专题四二次根式的运算 二次根式的运算包括二次根式的乘除，加减，以及混合运算，解题时要根据运算的法则，同时还要保证二次根式有意义． 1.二次根式的乘法主要依据法则进行运算； 2.对于二次根式的除法运算，一般是先写成分式的形式，然后通过分母有理化或约分来进行，但有时也可以直接用公式来计算； 3.二次根式的加减运算就是合并同类二次根式，而同类二次根式必须是最简二次根式. 4.二次根式的混合运算 ①注意运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的. ②灵活运用运算律使运算简便. ③运用乘法公式使运算简便. 例4．计算：(1) (2) 解析: 整式和分式的运算性质在二次根式的运算中同样适用，乘法公式、分配律、约分等都有可能简化运算过程，要根据式子的结构特征灵活使用． 解: (1)原式 (2)原式=+2)]19(5-2) 【题型分析】 规律探究题 例1适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用. 如：借助于计算器可以求得= ， = ， = ， = ， …， 仔细观察上面几道题结果，试猜想． 解析：利用计算器我们可以分别求得， ， ， ，由此我们猜想． 情景探究题 例2根据爱因斯坦的相对论，当地面上经过1秒钟时，宇宙飞船内只经过秒，公式内的r是指宇宙飞船的速度，c是指光速（约30万千米／秒），假定有一对亲兄弟，哥哥23岁，弟弟20岁，哥哥乘着以光速0.98倍的速度飞行的宇宙飞船作了5年宇宙旅行后回来了，这个5年是指地面上的5年，所以弟弟的年龄为25岁，可是哥哥的年龄在这段时间里只长了一岁，只有24岁，就这样，宇宙旅行后弟弟比哥哥反而大了1岁，请你用以上公式验证一下这个结论． 解析：本题关键点，根据公式计算出地面上经过一秒钟时，宇宙飞船上经过多少秒. 解：根据题意得，当=1（秒）时， =≈0.01×20=0.2（秒）， 所以：=1：0.2=5：1，即地面上经过5年，宇宙飞船上才经过1年， 所以结论是正确的． 开放探究题 例3先将化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值. 解析：这是一道结论开放题，它留给我们较大的发挥和创造空间.但要注意x的取值范围是. 解：原式 取x=4，原式=