第7章 非线性方程的数值求法.ppt

7.1 二分法 7.1.1 确定有根区间的方法 为了确定根的初值，首先必须圈定根所在的范围， 称为圈定根或根的隔离。 在上述基础上，采取适当的数值方法确定具有一定 精度要求的初值。 对于代数方程，其根的个数（实或复的）与其次数 相同。至于超越方程，其根可能是一个、几个或无 解，并没有什么固定的圈根方法 求方程根的问题，就几何上讲,是求曲线 y=f (x)与 x轴交点的横坐标。 由高等数学知识知, 设f (x)在区间[a,b]上连续, 如果 f (a)·f (b)0 , 则在[a,b]中至少有一个实根。如果 f (x)在[a,b]上还是单调的，则仅有一个实根。 (1) 画图法 画出y = f (x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的 大致位置。 也可将f (x) = 0分解为?1(x)= ?2(x)的形式，?1(x) 与 ?2(x)两曲线交点的横坐标所在的子区间即为含根 区间。 例如 xlnx-1= 0 可以改写为 lnx=1/x 画出对数曲线y=lnx,与双曲线y= 1/x,它们交 点的横坐标位于区间[2,3]内 (1) 画图法 例1 方程 f(x)=x3-x-1=0 确定其有根区间 解：用试凑的方法，不难发现 f(0)0 f(2)0 在区间（0，2）内至少有一个实根 设从x=0出发,取h=0.5为步长向右进行根的 有哪些信誉好的足球投注网站,列表如下 用逐步有哪些信誉好的足球投注网站法进行实根隔离的关键是选取步长h 要选择适当h ，使之既能把根隔离开来，工作量 又不太大。 为获取指定精度要求的初值,可在以上隔离根的 基础上采用对分法继续缩小该含根子区间 二分法可以看作是有哪些信誉好的足球投注网站法的一种改进。 7.2 不动点迭代法及其收敛性 （2）埃特金（Aitken）方法 7.4 牛顿迭代法 7.4.1 牛顿迭代法的基本思想 7.4.3 牛顿迭代法的收敛性 例 11 用牛顿迭代法求方程 的根,ε=10-4. §7.5 弦截法 证: 牛顿迭代公式对应的迭代函数为 从而 定理2.4 设x*是方程 f(x)=0的单根，且 f(x)在x*的某个邻域内有连续的二阶导数, 则牛顿法在x*附近局部收敛, 且至少二阶收敛。 ∵ x*是方程 f(x)=0的单根， 所以,牛顿迭代法在 x*附近局部收敛。 证至少二阶收敛,方法1 则称序列是 p 阶收敛的,c 称渐近误差常数。特别地,p=1时称为线性收敛,p=2时称为平方收敛。 1 p 2 时称为超线性收敛。 定义2.2 设迭代过程 收敛于 的根 ,记迭代误差 若存在常数p（p≥1）和c(c0)，使 证法2：用泰勒公式 证法2：用泰勒公式 所以 证毕 解： 牛顿迭代公式 证收敛： 证法2： 解： 证毕 切线法(Newton)的使用条件 y x 0 B=x0 f′′(x)0 xn+1 X* a y x 0 B f′′(x)0 a=x0 y x 0 B=x0 f′′(x)0 a y x 0 B f′′(x)0 a =x0 y x1 0 x0 X* 0 x0 X* x2 不满足迭代条件时，可能导致迭代值远离根的情况而找不到根或死循环的情况 7.4.4 牛顿迭代法的算法实现 取x0=0.5,逐次计算得 x1=0.57102, x2=0.56716， x3=0.56714 解：因 建立迭代公式 7.4.5 牛顿下山法 将牛顿迭代法与下山法结合起来使用,即在下山法保证函数值下降的前提下,用牛顿迭代法加快收敛速度。把这一算法称为牛顿下山法。即 满足这项要求的算法称下山法。 其中λ(0λ1)为下山因子 通常,牛顿迭代法的收敛性依赖于初始值x0的选取,如果x0 偏离所求的根 x* 比较远,则牛顿法可能发散。 为了防止迭代发散,我们对牛顿迭代法的迭代过程再附加一项要求,即具有单调性 下山因子的选择是个逐步探索的过程，设从λ=1开始反复将λ减半进行试算, 即逐次取λ为 从中挑选下山因子，直至找到其中某个λ使单调性条件 成立，则称“下山成功”，否则“下山失败”， 这时需另选初值重算。 牛顿法可用于求方程重根 迭代格式收敛且为线性收敛 可将迭代公式改为： 得 (4.14)式平方收敛。 1.5 1.416666667 1.414215686 1.414213562 (2) 1.5 1.458333333 1.436607143