第7讲 随机变量函数的分布2016.ppt

例10 解 若X～fX(x)，y=g(x)关于X分段严格单调，且在第i个单调区间上，反函数为hi(y),则Y=g(X)的概率密度为 例：设随机变量X服从[0,2?]均匀分布，求Y=sinX的概率密度。 注意 解 注意 连续 r.v.的函数的分布 函数不一定是连续函数 例如 X ~ U (0,2) 令Y=g (X) x y 1 FY (y)不是连续函数 高等院校非数学类本科数学课程 大 学 数 学(四) —— 概率论与数理统计 脚本编写：孟益民 教案制作：孟益民 第二章 随机变量及其分布 理解随机变量的概念。 理解分布函数的概念和性质。 理解离散型随机变量及概率分布（分布律）的概念 和性质。 理解连续型随机变量及概率密度的概念和性质。 掌握（0-1）分布，二顶分布，泊松（Poisson）分 布，正态分布，了解均匀分布与指数分布。 会求简单随机变量函数的概率分布 本章学习要求： 第四节 随机变量函数的分布 一、离散型随机变量函数的分布 二、连续型随机变量函数的分布 随机变量的分布函数 性质 几何表示 概率分布 分布律 性质 分布函数 概率密度 性质 分布函数 在实际中经常对某些随机变量的函数更感兴趣. 例如，在一些试验中, 所关心的随机变量往往不能由直接测量得到, 而它却是某个能直接测量的随机变量的函数. 比如我们能测量圆轴的直径d, 而关心的却是截面积A=?d2/4. 这里, 随机变量A是随机变量d的函数. 下面讨论如何由已知的随机变量X的概率分布去求得它的函数Y=g(X)(g(?)是已知的连续函数)的概率分布. 方法 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件 求随机因变量Y= g ( X )的密度函数 或 分布律. 问题的提出 或分布律, 已知 r.v. X 的密度函数 例1 解 结 论 例2 已知 X 的概率分布为 其中p+q=1, 0 p 1, 求Y= sin X 的概率分布. 解 故 Y 的概率分布为 Y pi -1 0 1 已知 X 的密度函数 f (x) 或分布函数 求 Y = g( X ) 的密度函数。 方法： （1） 从分布函数出发; （2）用公式直接求密度函数. 二、连续型情况 例3 解 结 论 例4 解 结 论 分布函数法 例5 解 已知 X 的密度函数.为 为常数, 且 a ? 0, 求 fY ( y ). 当a 0 时， 例6 解 当a 0 时， 故 设 X ~ N (? ,?2) , Y = a X +b, 则 Y ~ N (a? +b, a2?2). 特别地 ，若 X ~ N ( ? ,? 2) , 则 例7 X ~ E (2), Y= –3X+2 , 求 . 例8 解 例9 解 其中， x=h (y) 是 y=g (x) 的反函数 . 设X是一个取值于区间[a,b],具有概率密度f(x)的连续型 r.v,又设y=g(x)处处可导,且对于任意 x, 恒有 或恒有 ,则Y=g(X)是一 个连续型r.v，它的概率密度为 此定理的 证明与前 面的解题 思路类似 定理 证明