第一章 数学模型简介.ppt

第一章 建立数学模型 1.1 从现实对象到数学模型 1.2 数学建模的重要意义 1.3 数学建模示例 1.4 数学建模的基本方法和步骤 1.5 数学模型的特点和分类 1.6 数学建模能力的培养 玩具、照片、飞机、火箭模型… ~ 实物模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机… ~ 物理模型 地图、电路图、分子结构图… ~ 符号模型 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物. 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征. 1.1 从现实对象到数学模型 我们常见的模型 你碰到过的数学模型——“航行问题” 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程： 答：船速为20km/h. 甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需30h， 从乙到甲逆水航行需50h，问船的速度是多少? x=20 y =5 求解 航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数） 用符号表示有关量（x, y分别表示船速和水速） 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程） 求解得到数学解答（x=20, y=5） 回答原问题（船速为20km/h） 数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling) 对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学表述. 建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等） 数学模型 数学建模 1.2 数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展. 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透. 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视. 在一般工程技术领域, 数学建模仍然大有用武之地. 在高新技术领域, 数学建模几乎是必不可少的工具. 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地. “数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”. 数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强经济竞争力具有重要意义”. “计算和建模重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化的主要途径” . 数学建模的重要意义 数学建模的具体应用 分析与设计 预报与决策 控制与优化 规划与管理 数学建模 计算机技术 知识经济 如虎添翼 1.3 数学建模示例 1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 模型假设 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形. 地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面. 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地. 模型构成 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来. 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性. x B A D C O D′ C ′ B ′ A ′ 用?(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置. 四只脚着地 距离是?的函数. 四个距离(四只脚) A,C 两脚与地面距离之和 ~ f(?) B,D 两脚与地面距离之和 ~ g(?) 两个距离 ? 椅脚与地面距离为零 正方形ABCD 绕O点旋转 正方形对称性 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来. f(?) , g(?)是连续函数 对任意?, f(?), g(?)至少一个为0 数学问题 已知： f(?) , g(?)是连续函数 ; 对任意?， f(?) ? g(?)=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在?0，使f(?0) = g(?0) = 0. 模型构成 地面为连续曲面 椅子在任意位置至少三只脚着地 模型求解 给出一种简单、粗糙的证明方法 3）由 f, g 的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在?0 ( 0 ?0 ?/2) , 使h(?0)=0, 即 f(?0) = g(?0) . 1）将椅子旋转90°，对角线AC和BD互换. 由 g(0)=0，f(0) 0，知 f(?/2)=0, g(?/2)0. 2）令 h(?)= f(?)–g(?), 则 h(0)0 和 h(?/2)0. 4）因为 f(?) ? g(?)=0, 所以 f(?0) = g(?0) = 0. 评注和思考 建模的关键： 假设条件中哪些是本质的, 哪些是非本质的? 考察四脚连线呈长方形的椅子 (习题4). 用?表示椅子的位置 椅子的旋转轴在哪里，它在旋转过程中怎样变化？ 用 f(?), g(?)表示椅脚与地面的距离 证明过程的粗糙之处： 1.3.2 商人们怎样安全过河 问题(智力游戏) ? ? ? 3名商人 ? ? ? 3名随从 随从们密