第一节、向量及其线性运算.ppt

徐州工程学院数理学院 一、向量的概念 三、空间直角坐标系 两点间的距离公式 向量的投影的性质 得定比分点公式: 点 M 为 AB 的中点 , 于是得 中点公式 说明: 1.向量的模 五、向量的模、方向角、投影 空间两点间距离公式 例4 证明： 解： 所求点为 　因为 例6 解： * 上页 下页 返回 结束 第八章空间解析几何与向量代数 第一节 向量及其线性运算 第八章 一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影 既有大小又有方向的量叫做向量. 在数学中,用有向线段表示向量. 有向线段的长度表示向量的大小; 有向线段的方向表示向量的方向. 　　在数学上只考虑向量的大小和方向,而不考虑向 量的起点.这种与起点无关的向量叫做自由向量. 经过平行移动后能完全重合的向量是相等的. 向量的模 单位向量 零向量 零向量的起点和终点重合,方向可看作是任意的. 零向量与任何向量都平行. 1. 向量的加法 三角形法则 或平行四边形法则 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . 二、向量的线性运算 B A C A B C D 多个向量相加的情况 三角不等式 2. 向量的减法 规定 : 总之, 3. 向量与数的乘法 ( 数乘 ) 向量与数的乘积的运算规律 向量的加减法及数乘统称为向量的线性运算. 换言之， 任一非零向量总可以写成它自身的模与一个 与它同方向的单位向量的数乘. 由于平行四边形的对角线互相平分, 所以 例1 解： 例2 化简 解： 例3 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形. 证 与 平行且相等, 结论得证. 定理1 则 已知 b＝? a , b＝0 a , b 同向 a∥b a , b 反向 充分性 证明： 必要性 数轴与向量 数轴可由一个点、一个方向及单位长度确定，故 给定一个点及一个单位向量即可确定一条数轴。 O x 如图，点O 及单位向量 确定了数轴 Ox . . P 在轴上任取一点P, 则有 ， 从而存在唯一 的 x ? R 使得 且有 三个坐标轴的正方 向符合右手法则. Ⅶ 面 面 面 空间直角坐标系共有八个卦限. Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ 各卦限中点的坐标的特点 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ 一一对应 向量的坐标表示 向径 坐标轴上的点 P, Q , R 坐标面上的点 A , B , C 点 M 特殊点的坐标 : 有序数组 (称为点 M 的坐标) 原点 O ( 0, 0, 0) ; 在直角坐标系下点的坐标 A B C 坐标轴 : 坐标面 : 设 则 平行向量对应坐标成比例: 四、利用坐标作向量的线性运算 解： 例2. 2×① －3×② , 得 代入②得 ① ② 如图所示, 由于 这就是M点的坐标. 例3 解： * * * *