第七节 全概率公式.ppt

第七节 全概率公式 综合应用 第七节 全概率公式 用于计算比较复杂事件的概率 加法公式 乘法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互不相容 P(AB)=P(A)P(B|A) P(A)0 (一)全概率公式 例如 一场精彩的足球赛将要举行， 5个球迷好不容易才搞到2张入场券. 大家都想去，怎么办？ 入场券 入场券 空 空 空 抽签！ “先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ” “大家不必争先恐后，你们一个 一个按次序来，谁抽到‘入场券’ 的机会都一样大。” 解：显然，第一个人抽到入场券的概率为 入场券 入场券 空 空 空 下面，考虑第二个人抽到入场券的概率？ 设A={第二个人抽到入场券} 分析：A怎样发生的？ AB1 AB2 第一人抽到，第二人也抽到 第一人未抽到，第二人抽到 则 A＝AB1+AB2 且 AB1和AB2互不相容 设B1={第一人抽到入场券}, B2={第一人未抽到入场券} 则 A＝AB1+AB2 且 AB1和AB2互不相容 所以 P(A)＝P(AB1)+P(AB2) 运用加法公式得 ＝P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2) 运用乘法 公式得 将公式一般化，就得到全概率公式 抽签不必争先恐后！ 入场券 入场券 空 空 空 设随机试验的样本空间为Ω。 1. 全概率公式 A＝AB1+AB2+……+ABn B1,B2,…,Bn为互不相容的完备事件组(划分),且P(Bi)0， i =1,2,…,n, 另有一事件A, 则 全概率公式的由来，不难由上式看出： “全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和。 它的理论和实用意义在于： 直接计算P(A)不容易时，考虑将事件A进行分割，借助样本空间Ω的一个划分B1, B1, … , Bn将事件A 分成AB1, AB1, … , ABn ， 用所有的P(ABi)之和计算 P(A)，往 往可以简化计算。 例1 某工厂有3个车间生成同一种产品，据以往记录 有以下数据： 车间 次品率 提供份额 1 0.02 30％ 2 0.01 55％ 3 0.03 15％ 现从出厂产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？ 目标事件 解：设A={取到的产品是次品} 分析：A怎么发生的？ 划分样本空间： 1，2，3个车间将样本空间分为三部分 合格品和次品将样本空间分为两部分 (复杂！) 2. 全概率公式举例 车间 次品率 提供份额 1 0.02 30％ 2 0.01 55％ 3 0.03 15％ Bi＝{取到i车间的产品} i＝1,2,3 解：设A={取到的产品是次品} 则 A＝AB1+AB2+AB3 A怎么发生的？ AB1 1车间的次品 2车间的次品 AB2 3车间的次品 AB3 车间1应承担多少责任? 在实际生活中，还会遇到下面一类问题，是 这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小。 现从出厂产品中任取一件，发觉该产品是次品而且其标志已脱落，厂方应如何处理此事较为合理？ 或者问: “已知结果求原因” ？ (二)贝叶斯公式 车间 次品率 提供份额 1 0.02 30％ 2 0.01 55％ 3 0.03 15％ 现从出厂产品中任取一件，发觉该产品是次品而且其标志已脱落，试求这件次品来自车间1的概率？ ？ 车间 次品率 提供份额 1 0.02 30％ 2 0.01 55％ 3 0.03 15％ 结果已发生 Bi＝{取到i车间的产品} i＝1,2,3 解：设A={取到的产品是次品} 所求为 运用全概 率公式 运用乘法公式 将公式一般化，就得到贝叶斯公式 P(B1|A) 设随机试验是样本空间为Ω。 1. 贝叶斯公式 B1,B2,…,Bn为互不相容的完备事件组(划分), 且P(Bi)0， i =1,2,…,n,