第三章 常微分方程数值解.ppt

* ? 改进尤拉法 /* modified Euler’s method */ Step 1: 先用显式尤拉公式作预测，算出 Step 2: 再将 代入隐式梯形公式的右边作校正，得到 1 + i y * * 改进的尤拉公式是二阶方法，但计算量增加了一倍。 3. 改进的尤拉方法 * * 解：由改进的尤拉公式可得 将数值代入，进行逐步计算。 一般对于改进的尤拉法可采用计算机编程进行计算。 ? 考察改进的尤拉法，可以将其改写为： 基本思想: 是从 ( xi , yi ) 点出发，以某一斜率沿直线达到 ( xi+1 , yi+1 ) 点。欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。 建立高精度的单步递推格式。 4.龙格-库塔法 * * 首先希望能确定系数 ?1、?2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在 的前提假设下，使得 Step 1: 将 K2 在 ( xi , yi ) 点作 Taylor 展开 将改进尤拉法推广为： ) , ( ) , ( ] [ 1 2 1 2 2 1 1 1 phK y ph x f K y x f K K K h y y i i i i i i + + = = + + = + l l Step 2: 将 K2 代入第1式，得到 * * Step 3: 将 yi+1 与 y( xi+1 ) 在 xi 点的泰勒展开作比较 要求 ，则必须有： 这里有 个未知数， 个方程。 3 2 存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库塔格式。 注意到， 就是改进的欧拉法。 Q: 为获得更高的精度，应该如何进一步推广？ * * 其中?i ( i = 1, …, m )，?i ( i = 2, …, m ) 和 ?ij ( i = 2, …, m; j = 1, …, i?1 ) 均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。 ) ... , ( ... ... ) , ( ) , ( ) , ( ] ... [ 1 1 2 2 1 1 2 32 1 31 3 3 1 21 2 2 1 2 2 1 1 1 - - + + + + + + = + + + = + + = = + + + + = m m m m m m i m i i i i i i m m i i hK hK hK y h x f K hK hK y h x f K hK y h x f K y x f K K K K h y y b b b a b b a b a l l l ? 最常用为四级4阶经典龙格-库塔法 /* Classical Runge-Kutta Method */ ： * * 例题 解： * * 将K值代入式，即可计算出方程组的解。 注： ? 龙格-库塔法的主要运算在于计算 Ki 的值，即计算 f 的值。Butcher 于1965年给出了计算量与可达到的最高精度阶数的关系： 7 5 3 可达到的最高精度 6 4 2 每步须算Ki 的个数 * * 5.常微分方程组 * * 5.常微分方程组 * * 高阶常微分方程 思路：转化降阶，通常转化为常微分方程组（1阶）来求解。 令 z=y * * * * 6.步长的选择 利用 p 阶方法可构造出： 步长为 h: 步长为 h/2: （1） （2） 上述两式整理可得： （3） * * 从局部截断误差上来看，与 有关，故 越小，对降低 局部误差有利，但是步长越小，势必引起计算量的加大。 将(3)式变形为： * * 6.步长的选择 7. 收敛性和稳定性 收敛性： 稳定性： * * 收敛性与稳定性从两个不同的角度描述了微分方程数值解法的实用价值，只有既收敛又稳定的方法，才可以提供比较可靠的计算结果。 8.线性多步法 * * 1. 打靶法 2．差分法 §3.3、边值问题 * * 边值问题的数值解 /* Boundary-Value Problems */ 2 阶常微分方程边值问题 ? 打靶法 /* shooting method */ 先猜测一个初始斜率 y ?(a) = m，通过解初值问题 y(b) = ?(s) 找出s*使得?(s*) = ?，即把问题转化为求方程 ?(s) ? ? = 0 的根。 y x 0 a b y x ( ) b 斜率 = s 0 j ( ) s 0 斜率 = s 1 j ( ) s 1 * * 例题： 用打靶法解。 * * 1. 打靶法 3.744273 1.826444 * *