第三章 扭转.ppt

§3-7 非圆截面杆的扭转 (Torsion of noncircular prismatic bars) 例题8 图 示一长为 l 的组合杆,由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆组成,内外两杆均在线弹性范围内工作,其抗扭刚度GaIpa 、GbIpb . 当此组合杆的两端各自固定在刚性板上,并在刚性板处受一对矩为 Me 的扭转力偶的作用.试求分别作用于内、外杆上的扭转偶矩. §3-7 非圆截面杆的扭转(Torsion of noncircular prismatic bars) 1. 数学表达式(Mathematical formula) 四、强度条件 (Strength Condition) 2.强度条件的应用 (Application of strength condition) 强度校核 (Check the intensity) 设计截面 (Determine the required dimensions) 确定许可载荷 (Determine the allowable load) A B C 解：作轴的扭矩图 MeA MeB MeC 22 kN·m 14 kN·m + _ 分别校核两段轴的强度 例题3 图示阶梯圆轴,AB段的直径d1=120mm,BC 段的直径 d2=100mm.扭转力偶矩为MA = 22 kN·m, MB = 36 kN·m ,MC =14 kN·m. 已知材料的许用切应力 [?] =80MPa,试校核该轴的强度. 因此,该轴满足强度要求. 例题4 实心圆轴1和空心圆轴2（图a、b）材料,扭转力偶矩M 和长度l 均相等,最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径之比 ? = 0.8 ,试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比. l l (a) (b) 分析：设实心圆截面直径为d1,空心圆截面的内、外径分别为 d2、 D2 ; 又扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设为 T . 已知： d d2 D2 因此 解得 两轴材料、长度均相同,故两轴的重量比等于两轴的横截面面积之比 在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料. 1.圆轴扭转时的变形是用相对扭转角?来度量的 §3-5 杆在扭转时的变形 · 刚度条件 (Torsional deformation of circular bars stiffness condition) 一、扭转变形 (Torsional deformation) 其中 d? 代表相距为 dx 的两横截面间的相对扭转角. 长为 l 的一段杆两端面间的相对扭转角 ? 可按下式计算 3.刚度条件（Stiffness condition) 2.单位长度扭转角(Angle of twist per unit length) ?—扭转角 GIp 称作抗扭刚度 称作许可单位长度扭转角 (Allowable angle of twist per unit length) 例题5 图示等直杆,已知直径d=40mm,a=400mm,材料的剪切弹性模量G=80GPa，?DB=1°. 试求： （1） AD杆的最大切应力; （2）扭转角? CA a a 2a Me 2Me 3Me A B C D + Me 2Me 3Me 解：画扭矩图 计算外力偶矩Me ? DB= ? CB+ ? DC=1° Tmax= 3Me （1）AD杆的最大切应力 （2）扭转角? CA a a 2a Me 2Me 3Me A B C D + Me 2Me 3Me 例题6 某汽车的主传动轴 是用 40 号钢的电焊钢管制成, 钢管外径D=76mm,壁厚d=2.5mm,轴传递的转矩 Me=1.98kN·m,材料的许用切应力 [?] = 100MPa,切变模 量为 G = 80GPa,轴的许可扭角[?′] = 2?/m . 试校核轴的 强度和刚度. D d d Me Me 解：轴的扭矩等于轴传递的转矩 轴的内、外径之比 由强度条件 由刚度条件 D d d Me Me 将空心轴改为同一材料的实心轴,仍使 ?max=96.1MPa d=47.2mm 实心轴的直径为 两轴材料、长度均相同,故两轴重量比等于两轴的横截面积比， 在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料. 其截面面积为 空心轴的截面面积为 例题7 两端固定的圆截面杆AB,在截面C处受一个扭转力偶矩Me的作用,如图所示.已知杆的抗扭刚度 GIp,试求杆两端的支反力偶矩. C Me a b A B l 解:去掉约束,代之以约束反力偶矩 这是一次超静定问题,须建立一个补充方程 A C