第五章 微 分 学 SECTION3_2.doc

四、隐函数 1. 单变量隐函数 对于由方程 F(x,y)=0 所确定的隐函数有下述定理: [存在定理] 设函数F(x,y)在点M0(x0,y0)的某一邻域*R内定义并且满足下列条件: (i) F(x,y)及其偏导数在R内连续, (ii) F(x0,y0)=0, (iii)≠0, 那末在点M0(x0,y0)的某一邻域 ;) 内有唯一的单值函数y=f (x)存在,具有下列性质: 1° F[x, f (x)]≡0,且f (x0)=y0, 2° 在区间()内函数f(x)连续, 3° 它在这区间内有连续的导数. [导数的计算] (≠0) (≠0) 2. 多变量隐函数 对于由方程 F(x,y,z)=0 所确定的隐函数有下述定理: [存在定理] 设函数F(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)的某一邻域R内定义并且满足下列条件: (i) F(x,y,z)及其偏导数,在R内连续, (ii) F(x0,y0,z0)=0, (iii) (x0,y0,z0) ≠0, 那末在点P0(x0,y0,z0)的某一邻域 ;;) 内有唯一的单值函数z=h(x,y)存在,具有下列性质: 1° F[x,y,h(x,y)]≡0,且h(x0,y0)= z0, 2° 函数h(x,y)连续, 3° 它有连续的偏导数. [导数的计算] , (≠0) 如果需要求所有一,二,各阶的偏导数,只要将恒等式 F(x,y,z)=0 两边求一阶,二阶,三阶,...各阶的全微分,然后和全微分dz,d2z,的定义形式对比,即得. 注意,对于由方程 F(x1,,xn,y)=0 所确定的隐函数有类似结果. 3. 由方程组所确定的隐函数 对由方程组 (1) 所确定的隐函数有下述定理: [存在定理] 设函数F(x,y,z)及G(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)的某一邻域R内定义,并且满足下列条件: (i) F(x,y,z),G(x,y,z)及其所有偏导数都在R内连续, (ii) F(x0,y0,z0)=0,G(x0,y0,z0)=0, (iii) 行列式 J(x,y,z)= 在点P0(x0,y0,z0)不等于零:J(x0,y0,z0)≠0. 那末在点P0(x0,y0,z0)的某一邻域 ;;) 内有唯一的一组单值函数y=f(x),z=g(x)存在,具有下列性质: 1° F[x,f(x),g(x)]≡0,G[x,f(x),g(x)]≡0,且f(x0)=y0,g(x0)=z0, 2° 在区间()内函数f(x),g(x)连续, 3° 在这区间内有连续导数. [导数的计算] 将y和z看作x的隐函数,将方程组(1)对x微分得 这是关于及的线性方程组,其行列式J≠0,由此可以解出及. 注意,对于由方程组 所确定的隐函数有类似的结果. 五、微分表达式中的变量替换 1.单变量函数 设y=f (x),并有一个含有自变量、因变量及其导数的表达式 H=F(x,y,) 当作变量替换时,各导数可按下列方法计算: [作自变量变换的情形] 设变换公式为 x= 这时 , (1) ……………… [自变量和函数都作变换的情形] 设变换公式为 x=,y= 式中t为新的自变量,u为新的函数. 这时,由复合函数的微分法则得到 , ………………………… 把这些式子代入公式(1),即得结果. 2. 多变量函数 [作自变量变换的情形] 设z=f (x,y),并有一个含有自变量、因变量及其偏导数的表达式 H=F(x,y,z,, ,,…) 变换公式为 x=,y= 式中u和为新的自变量,则偏导数, 由下列方程确定: =+ 其它高次偏导数也可仿此求出. [自变量和函数都作变换的情形] 设变换公式为 x=,y=,z= 其中u, 为新的自变量, w=w(u,v)为新的函数,则偏导数, 由下列方程确定: +)++)=+ 其他高次偏导数也可仿此求出. 注意,当H内出现的不是个别的偏导数,而是已给阶次的全部偏导数,那末求逐次偏导数时利用全微分比较方便. 六、微分学的基本定理(中值定理) [洛尔定理] 如果(i)函数f (x)定义在闭区间[a,b]上而且是连续的,(ii)在开区间(a,b)内存在有限导数,(iii)在区间的两端点处函数值相等: f (a)= f (b).那末在a与b之间至少存在一点c,使=0.即曲线y= f (x)在点(c, f (c))处的切线是水平的(图5.6). 特别,若f (a)= f (b)=0,洛尔定理可简述如下: