第五章 第1节 定积分的概念与性质.ppt

* 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 播放 * 一、问题的提出 二、定积分的定义 三、存在定理 四、定积分的几何意义 五、定积分的性质 六、小结 * a b x y o 实例1 （求曲边梯形的面积） 一、问题的提出 * a b x y o a b x y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形） * 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * 求曲边梯形面积的步骤： * 实例2 （求变速直线运动的路程） 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值． * 1、分割 3、求和 4、取极限 * 上述两个问题的共性: 1、解决问题的方法步骤相同 * 二、定积分的定义 定义 把区间 分成 个小区间 各个小区间的长度依次为 在每个小区间 上任取一点 作乘积 记 * 被积函数 被积表达式 积分变量 记为 积分上限 积分下限 积分和 * 说明 * 定理1 定理2 三、存在定理 * 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 四、定积分的几何意义 a b x y o y x o a b * * 例1 利用定义计算定积分 解 * * 对定积分的补充规定: 说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小． 五、定积分的性质 * （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质1 性质2 性质3 * 推广：不论 的相对位置如何, 下式总成立. 例 若 （定积分对于积分区间具有可加性） 则 * 性质4 性质5 * 性质5的推论： 证 （1） * 证 说明 可积性是显然的. 性质5的推论： （2） * 证 （此性质可用于估计积分值的大致范围） 性质6 在区间上的 * 解 令 于是 * 解 * 证 由闭区间上连续函数的介值定理知 性质7（定积分中值定理） 积分中值公式 则在积分区 * 使 即 积分中值公式的几何解释 * 解 由积分中值定理知有 使 * 六、小结 １．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法： 分割 化整为零 求和 积零为整 取极限 精确值——定积分 求近似以直（不变）代曲（变） 取极限 * （注意估值性质、积分中值定理的应用） 4．典型问题 （１）估计积分值； （２）不计算定积分比较积分大小． 3．定积分的性质 *