第八章 多元函数微分学8.1 多元函数的极限与连续.ppt

第八章 多元函数微分学 8.1 多元函数的极限与连续 8.1.2 多元函数的定义 8.1.3 多元函数的极限 8.1.4 多元函数的连续性 小 结 练 习 题 不存在. 观察 观察 不存在. 观察 不存在. 观察 不存在. * 可以用一次的想法是诀窍，如果它可以用两次以上，那他就成为一种方法了。 波利亚（美国数学家） 缺乏必要的数学知识，就无法理解最简单的自然现象；若要深入洞察自然奥秘，那就非得同时研究数学方法不可。杨格（美国数学家） 主题词：多元函数、极限、连续、偏导数、全微分、方向导数、梯度、曲面的切平面与法线、曲线的切线与法平面、拉格朗日乘数法 第八章 多元函数微分学 8.1 多元函数的极限与连续 8.2 偏导数 8.3 全微分 8.4 多元复合函数微分法 8.5 隐函数的微分法 8.6 多元函数微分法在几何上的应用 8.8 多元函数的极值 8.9 最小二乘法 选读：偏微分在经济分析中的应用 数学家：雅科比 8.1.1 平面点集的知识 （1）邻域 x y O (x,y) x y （2）区域 例如， 即为开集． 连通的开集称为区域或开区域． 例如， 例如， 是有界闭区域； 是无界开区域． 例如， （3）聚点 (a) 内点一定是聚点； 说明： (b) 边界点可能是聚点； 例 ,(0,0)既是边界点也是聚点． (c)点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E． 边界上的点都是聚点也都属于集合． n维空间中邻域、区域等概念 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义． 邻域： 类似地可定义三元及三元以上函数． 例1 求 的定义域． 解 所求定义域为 二元函数 的图形 （如下页图） 二元函数的图形通常是一张曲面. 又例如,球面 图形如右图. 例如, 可确定两个二元函数 对于三元（及其多于三个自变量）函数 没有明显的几何意义。 说明： （2）定义中 的方式是任意的； （3）二元函数的极限也叫二重极限 （4）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． 例2 求证 证 当 时， 原结论成立． 例3 求极限 解 其中 证 例5 证明 不存在． 取 其值随k的不同而变化， 故极限不存在． 不存在. 观察 播放 确定极限不存在的方法： 利用点函数的形式有 定义3 结论：多元初等函数在其定义域内的任一区域上是连续的。 例6 讨论函数 在(0,0)处的连续性． 解 取 故函数在(0,0)处连续. 当 时 闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次． 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次． （1）最大值和最小值定理 （2）介值定理 （3）一致连续性定理 在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续． 例７ 解 多元函数极限的概念 多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质 （注意趋近方式的任意性） 多元函数的定义 思考题 思考题解答 不能. 例 取 但是 不存在. 原因为若取 练习题答案