第八章 经典力学的哈密顿理论之5.doc

泊 松 括 号 泊松括号： 意义：哈密顿正则方程具有许多优点，因此，它在分析力学中占有非常重要的地位，并发展了一些不同的求解方法。泊松定理就是其中之一。 设：任何一个物理量： 这些物理量有的是随时间变化的，有的是运动积分，不随时间变化，以前我们讨论的中心问题之一是如何寻找循环坐标，即，如何建立运动积分。 现在反过来：对于一个给定的力学体系，如何来判断力学量是否为运动积分。 因为有了哈密顿量，我们就可以： 正则方程 解正则方程 力学体系的力学性质 因此，设想是否为运动积分，一定可以从与的关系中做出判断。 利用正则方程： 得到： 定义泊松括号： 所以： 上式给出了任意一个力学量随时间的变化与哈密顿量之间的关系，我们称上式为 的运动方程。 如果是运动积分，则： 因为当力学体系运动时，由正则变量 组成的某一函数为一常数，即： 可以反映体系的运动规律，即运动积分。因此： 特别是当不显含时间时， 则： 以前判断一个力学量是否是运动积分： 解出运动方程； 得到正则变量 ; 带回到函数中，看是否与时间 有关。 现在可以直接判断.即从与的关系中直接得到。 例如： 若： 上式是为运动积分的条件。 泊松代数 由于都是相互独立的，任意一个对另外一个的偏微商都等于零，即： 结合上面的公式得： 由泊松括号： 令得： 同理： 泊松括号的性质： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 雅可比恒等式 （10） 在正则变换下，泊松括号保持不变 （3）式的证明： 利用泊松括号： （4）式的证明： 上式中和对易！ （5）式的证明： （9）式的证明： 应用泊松括号展开左边三项就可以证明上式。详细证明略。 （10）式的证明： 是以为正则变量的力学量的泊松括号， 做正则变换 ，经过变换后得到的力学量的泊松括号仍然为：。 上式初看起来似乎是理所当然的，但是仔细想起来其中有一个泊松括号非常重要的性质，因为泊松括号： 这是对对求导后所定义的一个新的函数， 前面的研究中，我们知道，正则变换不能保证任意一个函数在变换后都保持不变，例如： 。 若都是运动积分，则也一定是运动积分，这是因为： 应用： 得，对于 应用雅可比恒等式得： 若都是运动积分，则： 所以：。 泊松定理：若都是运动积分，则也一定是运动积分。 例：平面谐振子的角动量的守恒性 角动量： 由于不显含时间，则 因此，是否是运动积分则由：来决定， 讨论： 当时，角动量守恒 因为： 当时，平面馆谐振子在中心势场 中运动，所以角动量守恒。 当时，角动量不守恒 因为此时势能为：，已经不是中心势场了，故角动量不守恒。 例2．已知一个质点对 轴和轴的角动量守恒，证明这个质点对轴的角动量也守恒。 证明： 则： 令： 则： 因此： 令： 因为： 所以： 同理： 所以： 即： 若为运动积分，由泊松定理，也是运动积分。 由例1可知，由泊松定理不一定得到新的运动积分，因为运动积分的总数是有限的，在许多情况下，由两个运动积分所做出的泊松括号是一个恒等式，或者等于一个常数，这就得不出新的运动积分了。