第八章 经典力学的哈密顿理论之一.doc

第八章 经典力学的哈密顿理论 正则坐标和哈密顿函数 三种不同形式的哈密顿动力学方程 哈密顿正则方程 哈密顿原理 哈密顿-雅可比方程 一．正则坐标和哈密顿函数 为表述空间的位置，引入坐标。 常用坐标：（1）直角坐标；（2）平面极坐标；（3）柱坐标；（4）球坐标等 功能：（1）用三个坐标值表示空间的一点的位置 （2）确定空间一组相互正交的单位矢量 （有了单位矢量，任何一个有方向的力学量都可以统一用这组矢量表示） 区别：（1）直角坐标与物体的运动无关，使固定不变的 （2）曲线坐标的单位矢量是随着质点所在的位置而改变的， （3）自然坐标由质点的速度方向决定坐标 1．广义坐标： 设 拉格朗日方程为： 又设： 拉格朗日方程为： 令： 上式中是变量 的任意函数，则： 而 所以由： 可以得到： 即：通过拉格朗日方程，对于两个不同的拉格朗日量可以解得同一个广义坐标。 经典力学中，一个力学体系的拉格朗日函数不是唯一的，不同的拉格朗日函数可以相差一项： 由于是任意函数，因此，一个力学体系的拉格朗日函数可以有无穷多个。 2．广义动量: 若拉格朗日函数是唯一的，则与广义坐标相对应的广义动量也是唯一的，两者一一对应。 但是，由于拉格朗日函数 都包含有广义速度 因此 和将是两个不同的力学量，由于是任意函数的，因此，与广义坐标对应的广义动量也有无穷多个。用数学语言表述为：广义动量和广义坐标是完全独立的。 若取，只是时间的函数，则和就一一对应了。 但是，这是一个规范条件，这个规范条件并非理论本身所必需的。 问题：（1）保留广义坐标 （2）保留广义速度 （3）对 若使和保持独立地位： 力学理论如何？ 是否会带来经典力学和拉格朗日理论中没有的优点？ 回答上述问题的理论即为哈密顿理论！ 两个变量的勒让德变换 一组独立变数变为另一组独立变数的变化称为勒让德变换。 设： 则： 上式我们是以 为变量，实际上我们可以用 任意两个量作为变量。 若取： 为独立变量，则： 此时函数也为的函数记为： 此时我们不能将 表述成为： 对于， 设： 对于： 当自变量为时： 当自变量为时，若仍用，则： 即：勒让德变换！ 哈密顿方程： 通过拉格朗日方程建立哈密顿方程： 广义动量和广义速度为： 式中的是以为变量的函数。上述方程是拉格朗日方程的另一种表述形式。但是上面方程并不对称。 定义哈密顿函数： 取全微分形式： 而： 所以： 同时： 则： 比较上面两式得到哈密顿正则方程： 拉格朗日方程是s个而阶微分方程，而哈密顿正则方程是2s个一阶微分方程， 拉格朗日方程和哈密顿正则方程完全等价 哈密顿函数对时间的全微商： 将 代入上式： 当H 不显含时间时， 所以： 即： 若拉格朗日函数除包含 之外还包含其它参数如 ，则： 代入 得到： 由：得： 所以： 非保守力体系下： 写出粒子在中心势场 中的哈密顿函数和正则方程。 解：粒子的拉格朗日函数为： 由 得： 机械能： 由哈密顿函数定义得： 得： 上式与机械能形式相同。 正则方程： 由： 带电粒子在电磁场中的哈密顿函数： 解： 由广义动量的定义得： 哈密顿函数的定义： 由： 得： 所以： 量子力学中常用的哈密顿量。 设带电粒子的电荷为 ，在电荷为 的电场中运动。 取球坐标 为广义坐标，设电子的质量为 ， 电子的运动速度： 电子在核力场中以速度 运动时，动能和势能： 拉格朗日函数： 计算 哈密顿函数为： 代入正则方程中： 上式即为由哈密顿正则方程求出的电子在核力场中的运动方程 由于中不含有 ，所以： 由： 同时： 右边第二项是关于 项，由 得： 所以 而： 由于 和 都不包括 故电子一定在一个平面内运动，这正是我们预期的，因为电子受的是有心力，如果令此平面为的平面，则。而电子在平面内运动的方程为： 变分问题的欧拉方程 第一性原理： 在力学中起“几何公理”作用，可以由它推导出全部力学定律得原理或假设称为第一性原理 例如：牛顿定律为第一性原理，以牛顿定律作为第一性原理建立的牛顿力学或称为经典力学体系最容易理解。 但是，牛顿定律不是唯一的作为第一性原理的理论！ 1788年拉格朗日发表的《分析力学》以虚功原理为第一性原理。 目前许多教材以达朗贝尔原理为第一性原理。 最小作用量原理：整个物理学的第一性原理 变