第八章 经典力学的哈密顿理论之四.doc

3. 正则变换 原广义坐标： ，新广义坐标： 目的： 哈密顿函数：是广义坐标和广义动量以及 的函数，哈密顿正则方程是个一阶微分方程。 如果在哈密顿函数中不出现某个广义坐标，例如不出现，则这个为循环坐标，应用哈密顿正则方程： 可以得到一个对应的积分。换句话说：如果中不出现，则对应的是常数，这正是我们期望的。 正则变换 （a）中是否出现循环坐标与我们选取的坐标系有关，例如：在有心力场中极坐标系下： 中不包含 所以： 如果通过某种变换能找到新的哈密顿函数，设为，这个新函数使得正则方程不便，这种变换称为正则变换！ 设新的广义坐标为： ，则拉格朗日方程为： 令： 由哈密顿原理可知，正则方程与哈密顿原理等价，所以，只要使 满足哈密顿原理的就可以保证新的正则方程保持不变，对于原来的正则变量和 由于与等价，为使完全独立于： 新的， 令： 则有： 即： 中应有四个变量即： 但是这四个变量之间存在着： 因此，独立变量只有 个， 中包含新坐标，我们可以取四类母函数： （i）第一类母函数： 所以： 注意： 时， 可以任意确定，但是，但是一旦 确定后，那么必须满足以下三点： （a） ， 对于不同的，则 不同； （b）不能完全自由选择，必须满足 （c） （ii）第二类母函数： （i）第一类母函数： 所以： （iii）第三类母函数： （iv）第四类母函数： 在四类正则变换中： 若不显含时间 ，则： 由： 得，都是 的函数，因此，变换后的 已经没有了纯粹空间坐标的意义了。 例如： 这一变换只使动量和坐标的名称相互变换，因此，在哈密顿方程中，广义坐标和广义动量只是名称上不同，并没有物理意义上的差别，因此我们称它们“正则共轭动量” 第二类母函数： 则： 即为拉格朗日坐标变换，坐标和动量之间不发生关系。 则正变换再论： 使有任意变分，， 当正则变换满足上式时，因为，，所以： 对原式取时间的微商， 由于 ，与对易，所以： 由： 对时间取微商： 对下式取变分： 得： 等式右边： 所以： 所以： 假如经过变换后的新哈密顿函数 只是变量 和时间的函数， 由 因此，力学体系 个积分 ， 而 得到力学体系的问题就解决了，而此时力学体系能否有 个积分全靠母函数 规定得 如何而定，所以，力学体系运动微分方程的积分从正则变换的眼光看，就变成了如何去找适合的母函数问题了，如果母函数 规定得当，使变换后能有很多循环坐标出现，问题就可以大大简化了。 例：用正则变换方法求平面谐振子的运动 以 代表谐振子的直角坐标， 动量： 以 代表振子沿 轴的振动频率， 质量为： 哈密顿量： 定义母函数： 第一类母函数, 则： 哈密顿量： 新哈密顿量： 所以： 积分得： 将上述方程代入： 中得到：