第六章 多元函数微分学(下).doc

五、复合函数的偏导数 定理1 设，在点处有连续偏导数，在相应的点处有连续偏导数，则复合函数在点处有偏导数，且 为了更清楚地表示复合函数中变量之间的关系,常用图6-1表示,称这种图为函数的结构图. 图6-1 多元复合函数的求导和一元复合函数求导类似.在进行多元复合函数的求导时,一般是先写出函数与中间变量、自变量的结构图．求函数对某个自变量的偏导数时，看函数到该自变量有几条路线，则求导公式中就有几项，每条路线有几根连线，每项就有几个偏导数相乘.如果只有唯一的自变量，偏导数就成为了一元函数的导数（称为全导数）． 例8 设求． 解 作函数的结构图. 由结构图可得 例9 ，求，． 解 作函数的结构图. 由结构图可得 . 例10 求函数的偏导数． 解 设，则，  ， 例11 设，且二阶可导，求 解 ， 六、隐函数的一阶偏导数 定理2 设方程确定隐函数，且可微，则当，函数可导，且有 ． 定理3 设方程确定隐函数，函数可微，且，则函数具有连续的偏导数，且有 ， ． 例12 设方程确定函数，求． 解 设，则 ，， ． 例13 设，求． 解 令 ， 因为 ，，． 所以 ，， 七、二元函数的极值 1. 二元函数的极值 二元函数极值的定义与一元函数极值的定义是类似的． 定义3 设函数在点的某个邻域内有定义，如果对该邻域内异于的点都满足不等式，则称为函数的极大值；如果都满足不等式，则称为函数的极小值，极大值与极小值统称为极值，使函数为极值的点称为极值点． 例14 函数在取得极小值－1，因为当或时， (如图6-2). 例15 函数在点处取得极大值.因为在点附近处有(如图6-3), 其函数对应的曲面是上半球面，显然高于周围的点． 图6－2 图6－3 定理4 （极值存在的必要条件）设函数在点处有极值，并且在该点有偏导数，存在，则有，。 使，同时成立的点称为函数的驻点， 解 得驻点为（1，-1）。 由定理4可知，可导函数的极值点必为驻点，但函数的驻点不一定是极值点.例如是函数的驻点，但在的任何一个邻域内，既存在使取负值的点，又存在使取正值的点，因而驻点不是极值点． 定理5（极值存在的充分条件）设函数在点的某个邻域内具有二阶连续偏导数且,若记，，则 (1)当时，为极值，时为极大值，时为极小值; (2)当时，不是极值； (3)当时，可能是极值也可能不是极值． 利用定理求具有二阶连续偏导数的函数的极值的步骤： (1)求偏导； (2)解方程组 ， 求出驻点； (3)求出驻点处，，的值； (4)由的符号判定出是否为极值，若是极值，则求出． 例17 求函数的极值． 解 ，，， ，． 解方程组 求得驻点，，，． 在处， ，且，所以函数在处有极小值； 在处，，所以不是极值点； 在处，，所以 不是极值点． 在处，，且，所以函数在处有极大值． 例18 要制造一个无盖的长方体水池，已知它的底造价为每平方米1800元，侧面造价均为每平方米600元，设计的总造价为21600元，问如何选取它的尺寸，才能使水池的容积最大？ 解 设水池的长宽高分别为，则容积为 （1） 由已知条件可知 ， 即 ， 解得 （2） 将（2）代入（1）式,得 ， 从而有 ， 令, 得唯一驻点（2，2）即，代入（2）式得 ． 由问题的实际意义可知，函数在时确有最大值,又只有唯一的驻点，所以取长宽都为2米，高为3米时，水池的容积最大． 2. 条件极值 如果自变量在定义域内可以任意取值，不受任何限制，所求得函数的极值，通常称为无条件极值, 如例17．如果自变量的取值有附加条件,求得函数的极值，称为条件极值，如例18，求容积V的最大值，除了定义域外，自变量还有附加条件．对于有些实际问题，可以把条件极值化为无条件极值，例如例18. 但在许多情况下，将条件极值化为无条件极值并不简单，我们有另外一种直接求条件极值的方法，可以不必先把问题化为