第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A(初一组).doc

第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题A（初一组） （时间: 2010:00～11:30） 一、填空题 (每题10分, 共80分) 1.互不相等的有理数a, b, c在数轴上的对应点分别为A, B, C. 如果 , 那么在点A, B, C中, 居中的是点 . 2.右图所示的立体图形由9个棱长为1的正方体木块搭成, 这个立体图形的表面积为 . 3.汽车A从甲站出发开往乙站, 同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站, 途中A与B相遇后15分钟再与C相遇. 已知 A、B、C 的速度分别是每小时90km, 80km, 70km, 那么甲乙两站的路程是 km. 4.把自然数 分组, 要求每组内任意3个数的最大公约数为1, 则至少需要分成 组. 5.已知正n边形的内角度数的两倍为整数, 那么这样的正整数n有 个. 6.已知 , 则的值等于 . 7.六人参加乒乓球比赛, 每两人赛一场, 分胜负, 无平局. 最终他们胜的场数分别是a, b, b, c, d, d, 且, 那么a等于 . 8.某中学新建游泳池 二、解答下列各题 (每题10分, 共40分, 要求写出简要过程) 9.能否找到7个整数, 使得这7个整数沿圆周排成一圈后, 任3个相邻数的和都等29 ? 如果能, 请举一例. 如果不能, 请简述理由. 10.已知k 是满足 的整数, 并且使二元一次方程组 有整数解. 问: 这样的整数k有多少个? 11.所有以质数p为分母的最简真分数的和记为m, 所有以质数 q为分母的最简真分数的和记为n. 若, 求的可能值. 12.解方程 , 其中 [x] 表示不大于x的最大整数. 三、解答下列各题 (每题15分, 共30分, 要求写出详细过程) 13.右图中, ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB 的面积之和六边形ABCDEF的面积又6个阴影三角形面积之和六边形ABCDEF的面积. 求六边形 的面积与六边形ABCDEF面 后等于一个整式的平方, 试求所有 这样的单项式. 第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题A参考答案（初一组） 一、填空 (每题10分, 共80分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A 32 680 503 28 5 解答. 二、解答下列各题 (每题10分, 共40分, 要求写出简要过程) 答案: 不能. 解答. 假设存在7个整数排成一圈后, 满足任3个相邻数的和都等于29. 则 , , , , , , . 将上述7式相加, 得 . 所以 , 与为整数矛盾! 所以不存在满足题设要求的7个整数. 答案: 2. 解答. 直接解方程组, . 当 (其中m和n是整数) (1) 时方程组有整数解. 消去上面方程中的k, 得到 . (2) 从(2)解得 (其中l是整数). (3) 将(3)代入(1)中一个方程 , . 解不等式 , , . 因此共有2个k值使原方程有整数解. 答案: 49, 14. 96.5（96.5可答可不答） 解答. 因为为质数, 所以为最简真分数, 所以 . 同理可得 . 所以 . 首先, 因为上式右端3的因子只有一个, 所以 p和 q不可能相等, 不妨设. 因为 =, 所以p和 q可以是以下情形: , 对应的; , 对应的. 答案: . 解答. 当时, 有. 当时, 有. 由于 , 可以断言, 如果方程有正数解 x, 则. 因此, 是不可能的. 另一方面, , 可以断言, 如果方程有负数解 x, 则. 因此 , , , . 故原方程的解为. 三、解答下列各题 (每题15分, 共30分, 要求写出详细过程) 答案: . 解答. 记六边形的面积为S, 图中阴影部分的面积为S1; 记 △ABC, △BCD, △CDE, △DEF, △EFA, △FAB的面积之和, S1 =. 在计算S2时, 加了两次S3, 所以 , 从而得 . 又 , 所以 . 故 . 答案: , 或8x, 或32x, 或. 解答. 设所求的单项式是 , . 共有3个不为同类项的单项式, 如果 , 则多项式 + 中不为同类项的单项式有4项, 不可能写为两个不为同类项的单项式和的平方, 如果写成至少有3项不为同类项的单项式和的平方, 则展开后, 至少有5个不为同类项的单项式, 所以, 得到. 所求的单项式为, 或8x, 或32x, 或, 再无其他解答.