第十章 曲线积分与曲面积分学习指导.doc

第十章 曲线积分与曲面积分学习指导 一、内容提要 (一) 对弧长的曲线积分 1．定义：，其中表示第个小弧段的弧长。 2．性质：具有与定积分类似的性质。如线性性质，对积分路径的可加性等。 3．计算： (1) 若曲线的界数方程为，()且，在上连续，在上连续，则 。 (2) 若曲线的方程为且在连续，上连续，则 。 (3) 若曲线的极坐标方程为()，且在上连续，在上连续，则 。 (4) 若空间曲线的方程为，，在上连续在上连续，则 。 (二) 对坐标的曲线积分 1．定义：其物理意义是变务沿有向弧段所作的功，即 2．性质：除了与弧长的曲线积分相同的性质外，应注意方向性 3．计算： (1) 若曲线的参数方程为，，且曲线的起点和终点所对应的的值为和，又，在或上连续，，在上连续，则 (2) 若曲线的直角坐标方程为，且曲线的起点和终点所对应的的值为和，又在或上连续，则 (3) 若空间曲线的参数方程为，，，且曲线的起点和终点所对应的的值为和，又，，在或上连续，则 (三) 格林公式，曲线积分与路径无关的条件 1．格林公式 设和及一阶导数在闭区域上连续，则有 其中分段光滑曲线是区域的正向边界。 2．四个等价命题 若，在单连通区域内有一阶连续偏导数，则在内下列四个命题相互等价： (1) 曲线积分与路径无关，其中是中分段光滑曲线； (2) 沿中任一分段光滑闭曲线有。 (3) 对内的任一点有。 (4) 在内存在一函数使，则有 3．两种曲线积分之间的关系其中，是上任一点方向上的切向量的方向余弦。 (四) 对面积的曲面积分 1．定义：，其中()是曲面块上的第个块的面积。 物理意义是密度的曲面块的质量当时为面积。 2．计算 若曲面可用单值函数表示设为在平面上的投影区域，则 若曲面的方程为单值函数若，设和为在平面和平面上的投影，则曲面积分可类似地化成重积分： 或 (五) 对坐标的曲面积分 1．定义： 其中表示的第子块在平面上的投影，，含义类似。 物理意义：设流体密度为1，流速为 ，则单位时间内流进有向曲面指定一侧的流量为 2．计算 若曲面的方程为，则(当为曲面的上、下侧时分别取正、负号) 类似地，若曲面的方程为则 (当为曲面的前、后侧时分别取正、负号) 若曲面的方程为则 (当为曲面的右、左侧时分别取正、负号) 3．两类曲面积分的关系 其中，，是有向曲面上点处的法向量的方向余弦。 (六) 高斯公式 设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成，函数、、在上是有一阶连续偏导数，则 其中中的整个边界的外侧。 (七) 斯托克斯公式 设为分段光滑的有向空间闭曲线，为以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手法则，函数、、在包含曲面在内的一个空间区域内是有一阶连续偏导数，则有 (八) 通量与散度、环量与流量 设向量场通量(或流量) ，其中为上点处的单位法向量。 散度： 对坐标的曲面积分与的形状无关的充要条件是散度为零。 旋度： 环流量：向量场沿有向闭线的环流量为 二、基本要求 (一) 理解曲线、曲面积分的定义，掌握曲线、曲面积分的计算方法； (二) 掌握第二类曲线、曲面积分与路径、形状无关的条件及其判断方法； (三) 了解通量与环流量与旋度的概念，并掌握它们的计算方法； (四) 掌握各类曲线、曲面积分之间的关系； (五) 掌握曲线、曲面的积分的有关应用(求面积、求曲线段和曲面块的重心坐标等)； (六) 掌握高斯公式和斯托克斯公式及其应用。 三、注意的几点 (一) 第一类曲线积分的计算应掌握弧长微分的基本公式所有形式的计算公式均可由此推出，第一类曲面积分也有类的公式。 (二) 第二类曲线积分与积分曲线的方向有关 第二类曲面积分与曲面空间有关 (三) 第一类曲面积分的计算时，应注意“一投、二代、三换”以及利用积分区域的对线性和被积函数的第二类曲面积分的计算应注意“一投、二代、三定号”。 (四) 利用第二类曲线积分求平面图形面积是格林公式的一个简单应用可利下面各式计算 面积：。 (五) 利用格林公式时，要注意条件： 1．曲线是闭曲线，录不封闭则应添加曲线使其封闭； 2．函数和在封闭曲线围成的区域内应具有一阶连续偏导数； 3．曲线积分的方向是正向，即逆时针方向。 利用高斯公式时也应注意类似问题。 (六) 有关重心公式 线度的空间曲线的重心公式 ，， 面度为的空间曲面的重心坐标 ，，。 1