第十章(两学时版).ppt

* 第十章 截面的几何性质 §10-1 静矩和形心 C z y dA y z O 2.形心坐标公式（可由均质等厚薄板的重心坐标而得） (10-2) 1.静矩 (10-1) 常用单位： m3或mm3 3.静矩与形心坐标的关系 (10-3) (4-1) 代入 (4-2)，得 推论：若截面对某轴的静距为零，则该轴必过形心；反之，若某轴过形心，则截面对该轴的静矩为零。 4.组合截面的静矩与形心 (10-4) (10-5) §10-2 惯性矩· 惯性积· 惯性半径 2.极惯性矩 1.惯性矩 O y z z y r d A 分别称为截面对z轴和y轴 的惯性矩。 称为截面对o点极惯性矩。 3. 惯性积 以上各量常用单位:m4 或 mm4 即 O y z z y r d A 称为截面对z轴和y轴的惯性积。 4. 惯性半径 单位：m 或 mm iy ，iz 分别称为截面对 y 、z 轴的惯性半径。 结论： ① 截面的极惯性矩、惯性矩、惯性积与坐标轴的位 置有关。 ② 截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原 点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。 ③ 惯性矩和极惯性矩恒为正值，而惯性积可正、 可负，也可能为零，但量纲均为[长度]4 。 ④ 截面对于包含对称轴在内的一对正交轴的惯性积 为零。 矩形 同理 d z z h b y z C 简单图形的惯性矩 y D z 由对称性 所以 圆 又 y D z 空心圆 d 组合截面的惯性矩和惯性积 依定义易得：组合截面对于某轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积）之和： 常见截面几何性质的计算公式见书中表10-1。 §10-3 平行移轴公式 z y dA C o yc y z b zc a zc yc 同理 平行移轴公式 注意： (1) 式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。 (2) 等号右边各首项为相对于形心轴的量。 250 125 125 120 580 例10-3-1 求图示截面对其形心轴yc、 zc的惯性矩。 yc zc 500 c (1) 求形心位置 将截面分为Ⅰ、Ⅱ两部分。 解： 由对称知： 取参考坐标系yozc 250 125 125 120 580 I II yc zc c 500 o (2) 求惯性矩 250 125 125 120 580 I II yc zc c 500 o 一、转轴公式 任意面元dA 在新、旧坐标系中的坐标之间的关系为： 代入惯性矩的定义式： dA z y y z o §10-4 转轴公式 主惯性矩 y1 z1 y1 z1 a a 利用三角函数关系，上式化为 转轴公式 由转轴公式可知，当坐标轴旋转时，惯性积Iy1z1将随着?角连续变化，且有正有负。因此，必有一特定的角度?0，使Iy1z1=0。 二、主惯性轴 主惯性矩 主惯性轴 主惯性矩 形心主惯性轴 形心主惯性矩 Iy1z1=0的一对坐标轴。 截面对于主惯性轴的惯性矩。 通过图形形心的主惯性轴。 截面对形心主轴的惯性矩。 由Iy1z1=0，有 得 由上式求出cos2?0、sin2?0的表达式，再代入转轴公式 ，可得： 最大值Imax 最小值Imin 注意：若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主惯性轴之一，另一形心主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。 120 10 10 10 70 I II III o z y y0 z0 a0 例10-7 试确定图示截面的形心主轴的位置，并确定形心主惯性矩。 解： （1）确定形心位置 对称中心o即形心。 （2）将整个图形分成I、II、III三个矩形，如图 I： Ⅱ： Ⅲ： 120 10 10 10 70 I II III o z y y0 z0 a0