第十章多元函数积分学(上).doc

重积分测验题 一、选择题（每小题4分） 1、设，其中D是由直线所围成的区域，则的大小顺序为_________. A、 B、 C、 D、 2、设，则等于___________. A、 B、 C、 D、积不出来 3、设则改变其积分次序后应为_________. A、 B、 C、 D、 4、设及则___. A、 B、 C、 D、 5、是由曲面在第一卦限所围成的区域，在上连续，则=__________. A、 B、 C、 D、 二、填空题（每小题4分） 1、由二重积分的几何意义得到 2、二重积分的值为__________,其中 3、设区域D是与的公共部分，试写出在极坐标系下的累次积分__________________________. 4、设则二重积分_______________. 5、交换积分次序___________________ 三、计算题（每小题9分） 1、计算二重积分，其中D是由曲线与直线所围成的区域。 2、，其中。 3、计算二重积分。 4、。 5、计算，其中。 6、求曲面，及平面所围成的立体体积。 四、证明题（本题6分） 设是连续函数，证明：其中为常数，且 第二部分 一、选择题（每小题3分，共15分） 1．设区域D是在第一，四象限部分，在D上连续，则二重积分（ B ） （A）；（B）； （C）；（D）。 2．累次积分又可写成（ C ）形式。 （A）；（B）； （C）；（D）。 3．若已知，则（ D ） （A）；（B）；（C）；（D）。 4．设是所给积分区域上的连续函数，则下列（ B ）等式成立。 （A）；（B）； （C）（D）。 5．设有空间区域及，则（C） （A）；（B）； （C）；（D）。 二、计算题（每小题6分，共30分） 1．计算，其中D是以为顶点的三角形区域，。 解：。 2．计算，其中D为：。 解：（） 。 3．计算，其中D：。 解：用极坐标 。 4．将三次积分化为柱面坐标系下的三次积分。 解：。 三、计算，其中为常数。 解：以原点为中心的区域，由对称性有 所以 四、（8分）计算由圆柱所围成的柱体被球面所截的立体的表面积。 解：由对称性知，整个表面积是上半部分的表面积的2倍。 而上顶的方程为，有，其中D为圆柱在xOy上投影，所以 ； 又上后侧的方程为，，由对称性，有 。 所以。 五、（8分）证明：由以及轴围成的平面图形绕轴旋转一周所形成的立体对轴的转动惯量（密度为）为，其中为连续的正值函数。 证明：旋转曲面为，设，则曲面的柱坐标方程为。 。 六、（8分）在底半径为R，高为H的圆锥体上，拼加一个同半径共底的半球，要使得整个立体的重心落在球心上，求R和H的关系（设立体的密度为）。 解：建立坐标系原点在球心，它们共同的底为xOy面。 由对称性，立体重心落在z轴上，其中。 半球迷方程为，锥面方程为，则在柱坐标系下 ，从而。 七、（8分）曲面将球体分成两部分，求这两部分的体积比。 解：位于抛物面内侧部分的球体记作，其体积为 ，则位于抛物面外侧的球体的体积，所以 。 八、（8分）湖泊体积及平均水深的估算。椭球正弦曲面是许多湖泊的湖床形状的很好的近似。假定湖面的边界为椭圆，若湖的最大水深为，则椭球正弦曲面由下列函数给出： 其中，现要求湖水的总体积V及平均水深。 解：设D：是湖面的椭圆区域，湖水的总体积为 由于被积函数与区域D的特征相同，适合于推广的极坐标来计算，作代换 平均湖水深度为。