第四章 内积和正交矩阵.ppt

第四章 内积和正交矩阵 §1 内积 §2 正交矩阵 * §1 内积 一、实向量内积 二、实向量长度 三、实向量正交 一、实向量内积 我们引进了n 维向量的概念，3维向量有长度和夹角，这些概念如何推广到n 维向量呢？我们回忆一下二维向量的长度和夹角如何通过其坐标计算. 向量 根据商高定理, 如何计算向量的夹角呢?我们利用三角学里的余弦定理.如果三角形三边长度为 长度为阿a和b的两边夹角为 则 给定向量 到y的向量是 于是 向量长度的平方是其分量的平方和,为了计算夹角的余弦,只需计算分子就可以了.我们给分子起了一个专门的名称,叫向量的内积.它等于向量对应坐标相乘,再把乘积相加.于是引进线性代数的一个重要概念“内积”. 定义 两个实向量 的内积是 例 例 内积的性质 前三个都是矩阵乘法的性质,自然直接验证也易如反掌.至于(4), 二、实向量长度 作为商高定理的推广,对于n维实向量 定义其长度 长度的性质 三角(形)不等式 柯西-布涅可夫斯基不等式 (3)的证明.如果有一个向量是零向量,两端为零,现在设 ,考虑二次函数 其判别式 分量形式 性质(4)的证明 非零向量的单位化.设 是非零向量,则 是单位向量. 例如 三、实向量正交 在平面上两个非零向量 夹角余弦 垂直, 定义 如果两个向量的内积等于零,则说这两个向量正交,或垂直. 如果非零向量组中的向量两两正交,则称这个向量组为正交向量组. 正交的性质 (1)零向量与任何向量正交; (2)与自己正交的向量必是零向量; (3)正交向量组是线性无关向量组; (4)向量 正交,则有商高定理 (3)的证明.设 是正交向量组.如果 使得 用 和等式两端做内积,由于正交性,只留下第i项 : 而 故 §2 正交矩阵 一、 的标准正交基和正交矩阵 二、两组标准正交基之间的过渡矩阵 三、正交矩阵及其性质 四、标准正交基的求法 一、 的标准正交基和正交矩阵 平面上通常选择坐标轴上的单位向量(1,0)和(0,1)组成的所谓标架对于平面上的所有向量进行分解.为了研究几何问题和其它有时需要旋转这个标架得到新的标架 ,这两个向量仍然正交,并且长度为1.这样的向量组称为标准正交基. 定义 中的n个向量 的向量组,如果两两正交,并且每个向量的长度为1,则称为一个标准正交基. 经典标架绕z轴旋转 我们知道一个标准正交基必定是一个线性无关的向量组,而n+1个n维向量必定线性相关,故每个n维向量必定可以用标准正交基线性表示 设 是一个标准正交基,组成行列式 定义 如果 则称Q为正交矩阵. *