第四章 一元函数积分学答案.doc

第四章 一元函数积分学 1．选择题答案 BBBBBABCDB 2．⑴等式左边表示圆在第一象限内的面积。故为。 ⑵在内为奇函数。与横轴围成的面积相等，且分别位于上下两侧。 3． ⑴反证法。不防设至少有一点，使。因为在内连续且，必存在一个邻域且在此邻域内。从而。矛盾。 ⑵本题为上一题的逆否命题。利用反证法同理可证。 ⑶令，则由⑴的结论可知。 4．，所以 。 5． 6．方程两边对x求导得：解得 7．令得时有极值。 8．⑴原式 ⑵原式= 9．⑴洛必达法则。原式= ⑵原式= 10． ⑴ 原式= ⑵原式= ⑶原式= ⑷原式= ⑸原式=4( 代数面积) ⑹原式= 11. 解: 代入已知得：故即为所求。 12．⑴ 原式= ⑵ 原式= ⑶原式= ⑷原式= ⑸原式= ⑹原式= ⑺原式= ⑻原式= ⑼原式=2 ⑽原式= ⑾原式= ⑿原式= ⒀原式= ⒁原式= ⒂原式= = ⒃原式= ⒄原式=令则 原式= = ⒅原式 ⒆原式= ⒇原式= 21 原式= = 22原式= 23原式= 24原式= 25原式= 26原式=分部积分得 原式= 27原式= 28原式= = 29原式= 30原式 = 31原式 32原式= 33原式= 34原式= 35原式= 36原式= 37原式 38原式= 39原式= 40原式= 41原式= = = 42原式 = 43原式 = 44原式= = 13计算下列定积分： ⑴原式= ⑵原式= ⑶原式 ⑷原式= ⑸原式= ⑹原式= ⑺原式= ⑻原式= （偶函数） ⑼原式=0 因为奇函数 ⑽原式= ⑾原式=0 因为奇函数 14 设k及l为正整数，且，证明： ⑴证明：积分函数为奇函数。 ⑵证明：左边= =0 ⑶证明：左边 15证明：右边=左边 16证明：因为 17计算下列定积分 ⑴原式= ⑵原式= ⑶原式= ⑷原式= ⑸原式=故原式= ⑹原式= 18 ⑴原式=不存在。故积分发散。 ⑵原式= ⑶原式= ⑷原式= 19 解：当时，原式=故发散 当时，原式= 所以时收敛。时发散。 综合题 1．D B 2．又 所以在内连续。 3．⑴ 所以其中一个原函数为 由连续性知 即 所以 为所求。 ⑵ 由连续性知 所以为所求。 4．⑴原式= ⑵原式= ⑶原式= = ⑷原式= ⑸令 原式= ⑹原式= = 5． 原式= = = = 6． 从而 故判别式 即 7．左边= 令则有 ===右边 8．证明：⑴则 即 ⑵故单调增加，又 所以 所以在内仅有一根 9． 10．由此得 而