第四章 一元函数积分学典型习题解答与提示.doc

第四章 一元函数积分学典型习题解答与提示 习 题 4-1 1．（1）；　　（2）；　　（3）；　　（4）。 2．（1）；　　（2）；　（3）；　（4）； 　（5）；　（6）；　（7）；　（8）。 3．（1）；　（2）；　（3）； 　（4）；　（5）； 　（6）； 　（7）； 　（8）； 　（9） 　　　　　　　　　　； 　（10）； 　（11）。 习 题 4-2 1．（1）；　（2）；　（3）； 　（4）；　（5）；　 （6）； 　（7）；　（8）；（9）； 　（10） 　（11）； 　（12）； 　（13）； 　（14）； 　（15）； 　（16）； 　（17） 　　　　　　　　　 ； 　（18）； 　（19）； 　（20） 　　　　　　　　　　 　（21）； 　（22） 　　　　　　　　　　； 　（23）； 　（24） 　　　　　　　　　　　。 2．（1） 　　　　　　　　 ； 　（2） 　　　　　　　　　　　 ； 　（3）； 　（4） ； 　（5） 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 ； 　（6） 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 ； 　（7）。 3．（1）； 　（2）； 　（3）； 　（4）； 　（5） 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 ； 　（6）； 　（7） 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 ； 　（8） 　　　　　　　 ； 　（9） 　　　　　　　　　； 　（10） 　　　　　　　　； 　（11） 　　　　　　　　　 　　　　　　　　故； 　（12）； 　（13） 　　　　　　　。 习 题 4-3 1．（1）1；　　（2）；　　（3）0；　　（4）。 2．（1）因为所表示图形面积的代数和与所表示图形面积的代数和均为零，故成立；（2），（3）参照前一小题。 3．（1）； 　（2）； 　（3）。 4．（1）；　　（2）由于，，故。 5．（1）由于，，由性质3知，； 　（2）由于，故，且时，，故，于是有。 6．（1）由于在上，，由估值性质， 　　　 ； 　（2）由于在上，，由估值性质， 　　　 。 7．（1）错，举反例，不能推得，当； 　（2）正确。 8．。 习 题 4-4 1．（1）；　　（2）；　　（3）。 2．令，得，当时，；当， ，故的极小值点为。 3．，当时，，则单调增， 　 ，故在范围内为凸弧。 4．（1）；　（2）；　（3）；　（4）；　（5）1； 　（6）2；　　（7）0；　　　（8）2；　　　　（9）1。 5．。 6．， 　 则，即所求满足条件的函数为。 7．。 习 题 4-5 1．（1）（提示：令）；　　　（2）（提示：令）； 　（3）（提示：有理化分母）；（4）（提示：令）； 　（5）（提示：令）；　　　 （6）2； 　（7）2；　　　　　　　　　　　　　　　　（8）（提示：令）； 　（9） 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　； 　（10）； 　（11） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　； 　（12） 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 ； 　（13）； 　（14）； 　（15） 　　　　　　　　 ； 　（16） 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　； 　（17）； 　（18）； 　（19）； （本题也可利用奇函数） 　（20）。[注意：（17）~（20）题的积分区间是关于原点对称的] 说明：习题（9），（11），（12）题也可利用下列公式求解，这样计算将变得十分简单。 ， ， 如（9）题 2．证明略。 习 题 4-6 1．（1）；　　（2），故发散；　　（3）； 　（4） 　　　　　　　　　　； 　（5） 　　　　　　　　　　。 2．否，由于不存在，故广义积分　发散。 3．。 * 习 题 4-7 1．（1）Integrate [ x ^ 2 / ( x + 1 ) , x ] 　（2）Integrate [ ( x + 1 ) / ( x ^ 2 + x + 1 ) , x ] 　（3）Integrate [ x ^ 2 * E ^ (－2 x ) , x ] 　（4）Integrate [ ArcSin [ x ] / x ^ 2 , x ] 2．（1）Integrate [ x * Log [ x ] , { x , 1 , E } ] ， 　（2）Integrate [ x / ( Sin [ x ] ) ^ 2 , { x , Pi / 4 ,