线性代数第3版习题全解(上海交通大学).doc

习题1.1 计算下列行列式： (1) ； ； ； (5) 。 解： (1) =7×5?1×4=31； (2) ； (3) 。 (4) 。 (5) = 用行列式方法求解下列线性方程组： (1) ； (2) 。 解： (1) , (2) ， 。 3．求下列各排列的逆序数： (1) 34215； (2) 13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2。 解： (1) t=2+2+1=5 (2) 4．写出四阶行列式中含有因子a11a23的项。 解： P3P4是2，4的全排列，即24，42，故 即，。 5．证明 。 按行列式定义即可证明（略）。 习题1.2 试证明行列式性质4。 证： 计算下列行列式： (1) ； (2) 。 解：(1) = ； (2) 。 计算n阶行列式： (1) ； (2) 。 解：(1) 。 (2) 把第2行的倍，第3行的倍，……，第n行的倍都加到第1行上去，D可化成下列行列式 。 习题1.3 计算下列行列式： (1) ； (4) 。 解：(1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 计算下列行列式： (1) ；(2) ； (3) ；(4) 。 解：(1) 从第2列开始，各列统统加到第1列上去，得 ； (2) 第2列的(?1)倍分别加到其他各列上去，得 ； (3) 先按最后一行展开，得 ； (4) 将Dn增加一行、一列，得到n+1阶行列式： 。(设)。 习题1.4 用克莱姆法则解线性方程组： (1) ； (2) 其中ai≠aj，i≠j(i，j=1，2，…，n)。 解：(1) ， ， ； (2) 故。 问λ取何值时，下列方程组有唯一解？ 解： 故当且时，方程组有唯一解。 λ，μ取何值时，下列方程组有非零解？ 解：。 当，且时，方程组有唯一解（零解）， 当或时，D=0，方程组有无穷多解。 求下列行列式的值： (1) ； (2) ； ； ； (7) ； (8) 。 解：(1) (2) (3)。 若将其按第一行展开，当时，所有代数余子式全为0。因此，当时，；当时，；时， 。 (4) 。 若将其按第一列展开，当时，所有代数余子式全为0。因此，当时，；当时，；时，。 (5) 。 (6) 。 (7) 第2列的(?1)倍加到第3列，同时把第1列的(?1)倍加到第2列，其余各列不变，得 (8) 将第k行的(?1)倍加到第k+1行上去(k=n?1，n?2，n?3，…，3，2)，得 。 用递推法计算行列式 。 解： ， 上式为关于的差分方程，其特征方程为，特征根为，故。又，得，从而。 复习题1 设，D的展开式中，x4的系数等于______，x3的系数等于_____。 解：将D按第一列展开，得四项求和 只有第一项能出现x4，其系数是2。第一项含x3，系数?2；第二、三项不含x3；第四项含x3，其系数2。故D中x3的系数为?2+2=0。 计算阶行列式 。 解： ，同理可得。 当时，从上述两式可以解得； 当时，只须对上式令即可得。 计算阶行列式(均不等于零，) 。 解：（范德蒙行列式） 。 设，求证：，其中 为将中第列元素换成后所得的新行列式。 证明：将增加一行和一列得到下列阶行列式，此行列式显然为0。 将此行列式按第一行展开，得， 显然， ，故。 已知四阶行列式，试求A41+A42与A43+A44的值。其中A4j是D的第4行元素的代数余子式(j=1，2，3，4)。 解：。 由于，分别取i=j=4，得 再取i=2，j=4，得。 将代入，得。 解得。 计算阶行列式 。 解：将增加一行、一列得到下列阶行列式，此行列式显然与原行列式相等，所以 。 设是不全为零的实数，试证明下列方程组只有零解： 。 证明：方程组的系数行列式 ， 显然，满足， 根据克莱姆法则，此方程组只有零解。 计算行列式。 解： 。 对调，即得的转置行列式，从而，当时，联立得 ； 当时，对上式取极限得 ， 故 。 计算行列式。 解： 。 设。 (1) 如果证明：； (2) 如果证明：。 证明：(1) 假设，则由克莱姆法则的推论知，由D构成的齐次线性方程组 有非零解 。 设是该解中满足的正整数，则 ，， ， 与题设矛盾，故； (2)显然，，从而，由(1)知，。 习题2.1 一个阶方阵，既是上三角矩阵又是下三角矩阵，问是什么类型的矩阵？ 答：是对角矩阵。 设。若，试求 的值。 解：根据矩阵相等的定义，有 解得 。 设有线性方程组试写出该方程组的系数矩阵和增广矩阵。 解：系数矩阵、增广矩阵分别为。 习题2.2 设，试