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第八章 多目标规划 概述 什么是多目标规划问题 在前面所述的最优化问题，无论是线性规划、整数规划还是非线性规划，其目标函数都只有一个。但在实际问题中，衡量一个设计方案的好坏往往不止一个标准，常常要考虑多个目标。例如研究生产过程时，人们既要提高生产效率，同时还要考虑产品质量，又要考虑成本以降低生产费用，可能还希望生产过程中的环保问题，即废渣、废水、废气造成的污染小。在设计导弹的过程中，既要射程远，又要燃料省，还要重量轻且打击精度高。在进行投资决策时，既希望回报高的同时又希望降低投资风险，如此等等。这就向我们提出了一个多指标最优化问题。我们把在这样的背景下建立起来的最优化称之为多目标规划问题。 多目标规划问题的发展 多目标规划法（Goal Programming，简称GP）也是最优化理论和方法中的一个重要分支，它是在线性规划的基础上，为解决多目标决策问题而发展起来的一种数学方法。其概念和数学模型是由A.Charnes和W.W.Cooper在1961年提出的，经过Ijiri,Sang.M.Lee等人的改进，并逐步发展和成熟，它在经济管理与规划、人力资源管理、政府管理、大型工程的最优化等重要问题上都有广泛的应用。 多目标规划问题的典型实例 例1 木梁设计问题 多目标规划问题的典型实例 例2 工厂采购问题 多目标规划问题的典型实例 多目标规划问题的典型实例 例3 生产计划问题 多目标规划问题的典型实例 多目标规划问题的典型实例 多目标规划问题的数学模型 多目标规划问题的数学模型 目标规范化 多目标规划的解集 直观理解 多目标规划的解集 绝对最优解 多目标规划的解集 有效解与弱有效解 多目标规划的解集 解集之间的关系 多目标规划的象集 多目标规划的象集 有效点和弱有效点。 多目标规划的象集 处理多目标规划的方法 约束法 评价函数法 功效系数法 约束法 原理 评价函数法 理想点法 理想点法 基于加权的方法 平方和加权法 线性加权和法 线性加权和法 乘除法 最大最小法 评价函数法的有关结论 功效系数法 线性功效系数法 线性功效系数法 线性功效系数法 线性功效系数法 指数功效系数法 指数功效系数法 指数功效系数法 指数功效系数法 多目标规划的MATLAB求解 由于多目标规划中的求解涉及到的方法非常多，故在MATLAB中可以利用不同的函数进行求解，例如在评价函数法中我们所得最后的评价函数为一线性函数，且约束条件也为线性函数，则我们可以利用MATLAB优化工具箱中提供的linprog函数进行求解，如果我们得到的评价函数为非线性函数，则可以利用MATLAB优化工具箱中提供的fmincon函数进行求解，如果我们采用最大最小法进行求解，则可以利用MATLAB优化工具箱中提供的fminimax函数进行求解。下面我们就结合前面各小节中所分析的几种方法，讲解一下典型多目标规划问题的MATLAB求解方法。 多目标规划的MATLAB求解 多目标规划的MATLAB求解 多目标规划的MATLAB求解 多目标规划的MATLAB求解 多目标规划的MATLAB求解 多目标规划的MATLAB求解 多目标规划的MATLAB求解 多目标规划的MATLAB求解 多目标规划的MATLAB求解 多目标规划的MATLAB求解 多目标规划的MATLAB求解 线性目标规划 线性目标规划也是解决多目标数学规划的一种方法，它是在线性规划基础上发展起来的．这种方法的基本思想是：对每一个目标函数，预先给定一个期望值，在现有的约束条件下，这组期望值也许能够达到，也许达不到。决策者的任务是求出尽可能接近这组预定期望值的解。 为了讨论目标规划的概念，必需对线性规划比较熟悉，故先复习一下线性规划。下面看一个例子 线性目标规划 线性目标规划 线性目标规划 线性规划的不足之处 上述使用的线性规划方法虽然是最优化理论与方法中发展得最完善、应用面最广的方法，但存在着一些不足，例如线性规划难以妥善处理多目标问题。线性规划在处理多目标问题时通常采用给各个目标赋予不同权重的办法，但如何将决策者定性的判断转化为定量的权重则是一个十分困难的问题，即便是可以求出各个目标的权重，但当各个目标的量纲不同时(例如不同的目标会分别用金额、人数、时间等来表示)，也难以用赋予权重的办法将它们归并到一个目标函数中。其次是线性规划在求解的过程中缺乏必要的灵活性。当线性规划中的某个约束无法满足时，线性规划无解，例如在例子中，如果将产品甲的合同约束改为40吨，产品乙的合同约束改为15吨，则问题无解。 然而，线性目标规划的约束条件却有较大的灵活性。这是因为可以在线性目标规划的每个约束条件中引入一对正负偏差变量，通过偏差变量可以表达条件是否可以被满足。是过紧还是过松，差多少或多剩余多少。