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莫比乌斯反演 ——吉大附中实验学校 PoPoQQQ 什么是莫比乌斯反演？ 介绍这个之前，我们先来看一个函数 根据F(n)的定义，我们显然有： F(1)=f(1) F(2)=f(1)+f(2) F(3)=f(1)+f(3) F(4)=f(1)+f(2)+f(4) F(5)=f(1)+f(5) F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6) F(7)=f(1)+f(7) F(8)=f(1)+f(2)+f(4)+f(8) 于是我们可以通过F(n)推导出f(n) f(1)=F(1) f(2)=F(2)-F(1) f(3)=F(3)-F(1) f(4)=F(4)-F(2) f(5)=F(5)-F(1) f(6)=F(6)-F(3)-F(2)+F(1) f(7)=F(7)-F(1) f(8)=F(8)-F(4) 在推导的过程中我们是否发现了一些规律？ 莫比乌斯反演 公式： 其中 为莫比乌斯函数，定义如下： (1)若 则 (2)若 ， 为互异素数，那么 (3)其它情况下 莫比乌斯函数的性质 (1)对于任意正整数n有： 证明： ①当 时显然 ②当 时，将 分解可以得到 在 的所有因子中， 值不为零的只有所有质因子次数都为1的因子，其中质因数个数为 个的因子有 个 那么显然有： 莫比乌斯函数的性质 只需证明 即可 二项式定理： 令 ，代入即可得证。 莫比乌斯函数的性质 (2)对于任意正整数n有： 其实没什么用，结论挺好玩的可以记一下 只需要令 ，代入莫比乌斯反演的公式即可 至于为什么 就留给大家做思考题了 莫比乌斯函数的性质 (3)积性函数 数论上积性函数的定义： 积性函数的性质： ① ②积性函数的前缀和也是积性函数 莫比乌斯函数的性质 由于莫比乌斯函数是积性函数，因此我们可以通过线性筛来求出莫比乌斯函数的值 代码： mu[1]=1; for(i=2;i=n;i++) { if(!not_prime[i]) { prime[++tot]=i; mu[i]=-1; } for(j=1;prime[j]*i=n;j++) { not_prime[prime[j]*i]=1; if(i%prime[j]==0) { mu[prime[j]*i]=0; break; } mu[prime[j]*i]=-mu[i]; } } BZOJ 2440 完全平方数 题目大意：求第k个无平方因子数 无平方因子数(Square-Free Number)，即分解之后所有质因数的次数都为1的数 首先二分答案 问题转化为求[1,x]之间有多少个无平方因子数 根据容斥原理可知 对于sqrt(x)以内所有的质数 有 x以内的无平方因子数 =0个质数乘积的平方的倍数的数的数量(1的倍数) -每个质数的平方的倍数的数的数量(9的倍数,25的倍数,...) +每2个质数乘积的平方的倍数的数的数量(36的倍数,100的倍数,...)-... BZOJ 2440 完全平方数 容易发现每个乘积a前面的符号恰好是 (例如 故9对答案的贡献为负； ，故36对答案的贡献为正) x以内i^2的倍数有 个 故有 这题和莫比乌斯反演没关系，算是莫比乌斯函数的一个应用吧。。。 现在我们来证明莫比乌斯反演定理 证明： 这里利用到了 这条性质 形式二： 证明同理 一般要用到的都是这种形式 有了这个定理，我们能干什么？ 对于一些函数f(n)，如果我们很难直接求出它的值，而容易求出倍数和或约数和F(n)，那么我们可以通过莫比乌斯反演来求得f(n)的值 例：f(n)表示某一范围内(x,y)=n的数对的数量，F(n)表示某一范围内n|(x,y)的数对的数量 那么直接求f(n)并不是很好求，而F(n)求起来相对无脑一些，我们可以通过对F(n)进行莫比乌斯反演来求得f(n) 下面用几道例题来为大家讲解一下莫比乌斯反演的好处 BZOJ 2301 Problem b n次询问，每次询问有多少个数对(x,y)满足a=x=b,c=y=d且gcd(x,y)=k N=5W,1=a=b=5W,1=c=d=5W 首先利用容斥原理将一个询问拆分成四个，每