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一个反正切公式和它的应用 　　摘 要：首先给出了一个反正切相减公式，然后研究了一类通项用反正切表示的数项级数，应用反正切相减公式，给出了求这类级数和的一般方法。 　　关键词：反正切相减公式 通项 级数的和 　　中图分类号：O174.66 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）04（c）-0209-01 　　在中学和大学教科书[1-3]中，有如下几道习题： 　　题1.若，求 　　题2.求级数的和. 　　题3.求级数的和. 　　这几题均是利用“拆项相消”的方法进行求解的.对题1，注意到 　　（1） 　　联想一下两角差的正切公式，易知应作“拆项” 　　（2） 　　在教学过程中，学生反映这种技巧他们也能够想到，但对文献[2]给出的关于题2的“拆项”提示： 　　（3） 　　学生普遍反映不易想到.观察题1-题3，可见它们的通项均为其中是二次三项式.一个自然的问题是：对数项级数 　　（4） 　　能否用“拆项相消”的方法求和？如果能，又该怎样“拆项”？本文将对此问题进行探讨. 　　首先，我们给出一个反正切相减公式，即 　　定理1 如果是定义在I上的非负函数，则 　　（5） 　　证明： 因为故 　　（6） 　　从而 　　（7） 　　注意到 　　故有 　　下面，我们讨论级数（4）能够“拆项相消”的条件.因为 　　如果级数（4）能用“拆项相消”的方法求和，则存在正整数m，使得 　　（9） 　　根据公式（5），令 　　（10） 　　解方程组（10）得 　　（11） 　　且 　　（12） 　　将代入（12），并令的系数为零，得 　　（13） 　　从而得到 　　定理2 如果方程 　　（14） 　　有整数解，则级数（4）可用拆项相消的方法求和.且“拆项”方法为 　　（15） 　　其中 　　（16） 　　利用定理2，我们很容易求解题2～题3. 　　题2 将.代入（14）式，得 　　（17） 　　易知（17）有整数解.再由（16）式得由 　　知级数的和为 　　题3 将代入（14），得 　　（18） 　　易知（18）有整数解.由（16）式得注意到（8）式，可知 　　故级数的和为 　　参考文献 　　[1] 周敏泽.中国华罗庚学校数学课本（高一年级）[M].吉林：吉林教育出版社，2002：134. 　　[2] 孙清华，孙昊.数学分析疑难分析与解题方法（下册）[M].武汉：华中科技大学出版社，2009-10. 　　[3] 郝彦.数学分析习题课指导书[M].浙江：浙江大学出版社，2009：127. 4