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三维位场正则化向下延拓成像技术 　　摘 要：该文采用正则化方法通过频率域响应对位场进行向下延拓，运用牛顿切线法并引入多条件约束对正则化参数进行了合理的选取，消除了向下延拓所固有的不稳定性。在二维剖面和三维空间的延拓都取得了较为理想的效果。 　　关键词：向下延拓 不适定问题 正则化频率域 　　中图分类号：P6 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）09（b）-046-03 　　目前位场的延拓已经有多种成熟的方法，能严格按照数学方法导出。向上延拓由于不涉及到场源，可以达到良好的效果；但向下延拓是由实测位场向场源的延拓，是一个典型的不适定问题，计算的本身存在不稳定性。通常的下延方法在下延至场源体附近区域位场将发生强烈的震荡效应，国内外大量学者为解决这一问题作了大量的探索。主要解决方向都是构建低通滤波器。实际上相对于正则化方法，其他方法下延深度均较浅，到达场源时无法消除高频振荡。相较而言正则化方法是最稳定的算法之一，也是理论上能过源的延拓方法，可以解决反演中解的不唯一性和不稳定性。该文基于Fourior变换在频率域对正则化因子的选择，参数的控制及三维下延做出了一定探讨。把这种方法应用于理论模型和实际数据的向下延拓中都取得了理想的结果。 　　1 向下延拓的不适定性 　　我们知道，在场源区域S外位场u满足Laplace方程[1]： 　　（1） 　　其中f为观测平面的实测值，位场函数u为调和函数，由此构建成为Dirchlet问题。 　　解方程可得上半平面的延拓位场Poisson公式： 　　（2） 　　坐标取向下为正。其中为观测平面位场的观测值，为向上延拓z1以后平面位场值。转化为褶积表达式： 　　× （3） 　　将式（3）各项做二维Fourior变换得到波数域表达式[2]： 　　（4） 　　其中： 　　（5） 　　（6） 　　其中u，v为空间频率，z为常数。故向上延拓频率因子为[3]： 　　可以将向下延拓看作向上延拓的反问题，于是把向上延拓因子的倒数作为向下延拓因子，得向下延拓因子： 　　（7） 　　显然向下延拓因子是一个高通滤波器，将对高频成分进行放大，造成延拓位场剧烈震荡，使得延拓结果发散，淹没有效信息。构成了一个不适定问题。 　　2 正则化算法 　　为了能得到稳定解的向下延拓因子我们将问题转化第一类Fredholm线性积分[4]： 　　（8） 　　（9） 　　或第二类Fredhol线性积分： 　　其中： 　　（10） 　　（11） 　　利用Lagrange乘数法，将上述问题转化为无条件极值[4～5]： 　　（12） 　　其中为正则化参数，使用Fourior变换和Euler方程[4]转化到频率域求的解方程组（7）、（8），历史[5]上得出了不同类型的滤波器，通过试验效果校对本文采用陈生昌等人提出依据广义逆运算得出的向下延拓滤波器[6]： 　　（13） 　　它的频率特征如图1所示。 　　可以看出它是一个带通滤波器，不同取值有不同通带的频率响应，随增大通带向低频方向移动。同时它也是一个与有关的函数，频带将随着深度变化动态对下延信号进行动态压制。达到消除向下延拓所存在的高频振荡问题。 　　图2是原始延拓因子向下延拓5 m的二位重力异常，图3为利用正则化延拓因子延拓5 m的二维重力异常。 　　3 正则化参数的选取 　　正则化参数的选择将直接影响滤波器的通带范围，当取的很小时滤波器近似于原始的高通向下延拓因子，会造成很强的高频振荡，淹没有用信息。取值偏大时是一个低通滤波器，造成压制过当。按单个场源的模型，做出参数不同取值延拓位场最大值（场源位置）变化曲线如图4所示。可以看出参数还控制了场源反演深度。 　　由于向下延拓信号由于涉及到场源等问题，对于参数的选择往往根据经验并与实际情况相互印证。该文在前人的基础上再引入多条件约束通过牛顿切线法确定的取值范围。 　　约束条件： 　　（1）延拓在一定范围内位场值是增加的； 　　（2）延拓位场极值变化是收敛的； 　　（3） 　　第一个条件用于约束取过大所造成的压制过当，导致等值线过早闭合；第二个条件用于约束取过小造成延拓过源等值线不闭合的尴尬；第三个条件使延拓曲线形态趋势与地表观测曲线一致性最佳。 　　4 三维位场延拓 　　Step1：对观测平面数据进行二维Fourier变换转换到波数域； 　　Step2：用同样的滤波器构造三维正则化延拓因子； 　　Step3：用三维正则化因子对波数域位场值进行延拓； 　　Step4：Fourier反变换得到延拓后的位场值； 　　Step5：依次取不同的Z值重复上述步骤。 　　5 球体重力场数值模拟 　　为验证算法准确性，本文取单个球体源的重力位场