人工喀斯特地区污水处理的数学模型求解及分析.docVIP

人工喀斯特地区污水处理的数学模型求解及分析 　　摘 要：对喀斯特污水处理的数学模型传递问题，在非稳定情况下利用拉普拉斯变换对污染物浓度进行了求解，并分析了模型中各参数对污染物浓度的影响，为人工污水处理系统除污效应的研究提供了可靠的理论依据. 　　关键词：喀斯特；数学模型；拉普拉斯变换；污水处理 　　人工喀斯特污水处理系统原于对自然喀斯特地区的模拟，它利用自然生态系统中生物、物理和化学的三种协同作用来实现对污水的净化作用，这种喀斯特系统是在一定长度比及地面坡度的洼地中，由土壤和按一定坡度填充一定的填料（如泥土、砂石等）的混合物结构的填料床组成，并在床体表面种植物。具有处理性能好、成和率高、抗沙漠化强、生长期长、美观且具有经济价值的植物，它与在喀斯特地貌中、填料中生成的动物、微生物形成一个独特的动植物生态系统.污水流经床体表面和床体填料缝隙，通过过滤、吸附、离子交换、植物吸收及微生物分解等实现污水的高效净化. 　　对于人工喀斯特地区污水处理的研究，主要建立的是潜流人工喀斯特污水处理的数学模型.我们可将人工喀斯特地区反应器问题表述为二阶偏微分方程[1-9]： 　　[?c?t=A?2ci?x2-B?ci?x-rkc]. （1） 　　边界条件： 　　[x=0]，[ci=c0]， 　　初值条件： 　　[t=0]， [ci=c0]. 　　其中[rmax，km]分别为最大降解速度和米氏系数，且都为常数. 　　一、对数学模型的分析和求解 　　由米氏方程可得[r（ci）=-rmax（ci）cikm+ci]，其中[rmax（ci）]为最大降解速度，[km]为米氏系数，[ci]为组分[i]的浓度. 　　当[cikm]时，则[ci+km≈km].米氏方程可简化为[r（ci）=-rmax（ci）cikm]，即反应速度与污染浓度成正比，为一级反应。此时，由于微生物未被污染物所饱和，故增加污染物浓度可以提高反应降解速度。但是随着污染物浓度的增加，降解速度不再按正比例关系上升，而是呈混合级反应，即反应级数介于0和1之间，是过渡阶段。在一级反应状态下，微分方程（1）式为 　　[?ci?t=A?2ci?x2-B?ci?x-rmaxkci]. 　　边界条件为：[x=0，ci=c0]；初始条件：[t=0，ci=c0].使用拉普拉斯变换计算得到： 　　[c（x，t）=] 　　[c02expB2Ax+xB2+4Aλ2Aerfex+tB2+4Aλ2At][+c02expB2Ax-xB2+4Aλ2Aerfex-tB2+4Aλ2At] 　　[-c02expBAx-λerfex+B2A][-c02exp（-λt）erfex-B2A+c0exp（-λt）]. 　　通过以上的计算，得到的表达式可以找到任何时刻在填料床的任意位置，污水中某组分的浓度。 　　二、对数学模型的进一步分析及求解 　　在米氏方程[r（ci）=-rmax（ci）cikm+ci]中，当[cikm]时，则[ci+km≈ci]。米氏方程可简化为[r（ci）=-rmax]，此时是当污染物浓度增加到一定浓度时，微生物全部与污染物结合后，微生物降解污水中有机物的反应速度达到最大值，此时增加污染物浓度对反应速度无影响，即遵守零级反应。则微分方程（1）变为 　　[?ci?t=Ai?2ci?x2-B?ci?x-rmax]. （2） 　　边界条件为：[x=0，ci=c0；x=l，ci=ce]；初始条件：[t=0，ci=c0].为方便，令[c=ci，A=Ai，r=rmax].则微分方程（2）为[?c?t=A?2c?x2-B?c?x-r].边界条件为： [c（0，t）=c0，c（l，t）=ce]；初始条件：[c（x，0）=c0].使用分离变量法可得，令[c（x，t）=u（x，t）+φ（x）].则 　　[?u?t=A?2u?x2-B?u?x+Aφ″（x）-Bφ′（x）-r]. 　　令 　　[Aφ″（x）-Bφ′（x）-r=0]，[c（0）=c0，c（l）=ce]，经推理和计算得 　　[φ（x）=c0BexpBAl-ceB-rlBexpBAl-BexpBAx-rBx+ceB-c0B+rlBexpBAl-B]. 　　因为[c（x，t）=u（x，t）+φ（x）]，则： 　　[c（x，0）=u（x，0）+φ（x）]，而[c（x，0）=c0]， 　　[u（x，0）=c0-φ（x）=c0][-c0BexpBAl-ceB-rlBexpBAl-BexpBAx+rBx-ceB-c0B+rlBexpBAl-B]. 　　令 　　[f（x）=c0-c0BexpBAl-ceB-rlBexpBAl-BexpBAx+rBx-ceB-c0B+rlBexpBAl-B]， 　　则[u（x，0）=f（x