李亚普诺夫稳定性分析课件.ppt

第4章 李亚普诺夫稳定性分析 4.1 引言 4.2 李亚普诺夫稳定性的基本概念 4.3 李亚普诺夫稳定性定理 4.4 线性定常系统李亚普诺夫稳定性分析 4.5 线性时变系统李亚普诺夫函数的求法 4.6 非线性系统李亚普诺夫稳定性分析 4.7 李亚普诺夫直接法应用举例 4.6非线性系统李亚普诺夫稳定性分析 4.6.1 李亚普诺夫第一法分析非线性系统的稳定性 设n维非线性系统 (4-44) 其中, x为n维状态向量; f(x)为n维函数向量,且对x有连续的偏导数。设 为系统的平衡状态,为分析系统式(4-44)在平衡状态 附近的稳定性,可将非线性向量 在平衡状态 附近作向量泰勒级数展开,即 (4-45) 式中, 为级数展开式中大于和等于2阶的项,而 (4-46) 称为雅可比(Jacobian)矩阵。 若令 ,并取式(4-45)的一次近似式,则得非线性系统式(4-44)的一次近似线性化数学模型 2） 是半负定的； 1） 是正定的； 3）但 在方程(4-23)的非零解状态运动轨线上不恒等于零。 则系统在状态空间原点处的平衡状态是渐近稳定的。 进一步,若还有 时， ,则系统的平衡状态 是大范围一致渐近稳定的。 定理4-3 (判断稳定和不稳定的定理) 设系统的状态方程为 其平衡状态为 ,即有 且存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数 。 若 及其对时间的导数 满足 1) 是正定的; 2) 是半负定的 则系统原点处的平衡状态在李亚普诺夫意义下是一致稳定的。 若 及其对时间的导数 满足 1) 是正定的; 2) 也是正定的。 则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。 【例4-4】设系统的状态方程为 试确定平衡状态的稳定性 解 系统为线性定常系统,且系统矩阵非奇异,故状态空间原点 为该系统唯一的平衡状态。选取标准二次型作为一个可能的李亚普诺夫函数，即 该函数是正定的， 沿任意状态轨迹对时间的导数为 可见, 是半负定的。由定理4-3知,系统在原点处的平衡状态一定是李亚普诺夫意义下一致稳定的。但为了进一步判定是否渐近稳定,则应判断 在非零解运动轨线是否恒为零。 设 ，则有 ，即有 和 ,代入系统状态方程得 和 。这就表明，只有在状态空间原点 ,才有 ;而在非零解运动轨线上， 不可能恒等于零。则由定理4-2知, 是渐近稳定的平衡状态。又 时， ,故进一步可确定系统的平衡状态 是大范围一致渐近稳定的。 李亚普诺夫函数 的存在形式并非唯一,对该例，若另选下列正定二次型函数 为另一个可能的李亚普诺夫函数。则 沿任意状态轨迹对时间的导数 是负定的,因此所选 为系统的一个李亚普诺夫函数。 又 时， ,根据定理4-1，原点处的平衡状态在大范围内渐近稳定。 【例4-5】设系统的状态方程为 式中,a为大于零的常数，试分析其平衡状态的稳定性。 解 原点( )是系统的唯一平衡状态。试选下列正定二次型函数 为可能的李亚普诺夫函数。 则 可见, 在任意非零解运动轨线上， 恒等于零,因此,系统为在李亚普诺夫意义下稳定,但非渐近稳定。事实上,在任意 上, 均可保持为零,而 则保持为某常数,即 这表示系统自由运动的相轨迹是一系列以原点为中心的椭圆,即系统的零输入响应为无阻尼等幅振荡, 系统为在李亚普诺夫意义下稳定。但在经典控制理论中,这种系统称为不稳定系统。 【例4-6】设系统的状态方程为 试分析其平衡状态的稳定性。 解 原点( )是系统的唯一平衡状态。试选 为下列正定二次型函数 沿任意状态轨迹对时间的导数 也是正定的。由定理4-3，该系统在原点处的平衡状态不稳定。 4.4 线性定常系统李亚普诺夫稳定性分析 4.4.1 李亚普诺夫第一法（间接法） 李氏第一法是利用状态方程的解的特性来判