向量法解决立体几何中的角.doc

向量法解决立体几何中的角 1.在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图1-5所示．(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值． 2、在四棱锥A -BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝.(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B - AD - E的大小． 3、四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，M为BC上一点，且BM＝，MP⊥AP.(1)求PO的长；(2)求二面角A-PM-C的正弦值． 4、如图，四棱锥P - ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.(1)求证：AB⊥PD.(2)若∠BPC＝90°，PB＝，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P - ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值． 5、正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P - ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H. (1)求证：AB∥FG；(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长． 6、四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点． (1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D-AE-C为60°，AP＝1，AD＝，求三棱锥E-ACD的体积． 7、在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是线段AB的中点．(1)求证：C1M∥平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值． 8、四棱柱ABCD -A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值． 1、 解：(1)证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB平面ABD，AB⊥BD，平面BCD.又CD平面BCD，∴AB⊥CD.(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD.由(1)知AB⊥平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD.以B为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)．依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M则＝(1，1，0)，＝，＝(0，1，－1)．设平面MBC的法向量n＝(x，y，z)，则即取z＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1，1)．设直线AD与平面MBC所成角为θ，则＝＝＝即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为 解：(1)证明：在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，＝2，得BD＝BC＝，由AC＝，AB＝2，得AB＝AC＋BC，即AC⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE.又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD.(2)方法一：过B作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG.由(1)知DE⊥AD，则FG⊥AD.所以∠BFG是二面角B - AD - E的平面角．在直角梯形BCDE中，由CD＝BC＋BD，得BD⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB.由AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD.在中，由DC＝2，AC＝，得AD＝在中，由ED＝1，AD＝，得AE＝在中，由BD＝，AB＝2，AD＝，得BF＝，AF＝从而GF＝＝在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得＝，BG＝在△BFG中，＝＝所以，∠BFG＝，即二面角B - AD - E的大小是方法二：以D为原点DE，DC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系D - xyz，如图所示．由题意知各点坐标如下：(0，0，0)，E(1，0，0)，C(0，2，0)，(0，2，)，B(1，1，0)．设平面ADE的法向量为m＝(x，y，z)，平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)．可算得AD＝(0，－2，－