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问题一 加法公式,条件概率与乘法公式,事件的独立性,全概公式与贝叶斯公式
1 加法公式 (1)
(2)
(3)
(4) 相互独立
注: 有用的等式:
2 条件概率与乘法公式,事件的独立性
(1)
(2)
(3) 相互独立
3 全概公式与贝叶斯公式 设(1) 互斥 (2)
则 (1)
(2)
2.设事件与满足,,则必有( );
(C)
例1 甲,乙,丙三人独自破译某个密码,他们各自破译的概率是 ,,,求密码被破译的概率
解 A={密码被甲破译} B={密码被乙破译} C={密码被丙破译}
{密码被破译}=A+B+C
独立的加法公式
例2 袋中有3红球2白球,不放回地抽取2次,每次取一个,求(1)第二次取红的概率
(2) 已知第二次摸红球,求第一次也是红球的概率
解 Ai={第i次取红球} (i=1,2)
(1) 全概公式
(2) 贝叶斯公式
例3某厂有编号为1,2,3的三台机器生产同种产品,其产量分别占总产量的25%, 35% 40%,次品率分别为5%,4% 2%,今从总产品中取一件 (1) 产品为次品的概率 (2) 若抽取的为次品求它是编号为2的机器生产的概率
解 Ai(i=1,2,3)B={任取一件产品为次品}
(1)全概公式
(2) 贝叶斯公式
问题二 1 离散型随机变量的分布表的性质,分布函数,期望,方差的计算
X .... ..... P .... ..... (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2 连续型随机变量的概率密度函数的性质,概率计算,分布函数,期望,方差的计算
设X的概率密度函数为
(1)
(2)
(3) 或
且 , , 为连续函数
此性质可以用来求的常数
(3)
(4)
(5)
3 常见离散型随机变量
(1)
, ,
(2)
, ,
4 常见连续型随机变量
(1)
,
(2) 服从参数为的指数分布
,
(3)
为偶函数
(4)
,
(5)设总体 ,为样本,则
5 连续型随机变量的函数的概率密度函数
设X的概率密度函数为,且 单调,反函数为
则 的概率密度函数为
问题三 1 期望,方差的性质及其计算方法
(1)
(2)
(3)
(4) 相互独立,则
例4 设随机变量X的概率密度为 ,求的概率密度
解 因为: 是单调下降的,
其反函数为:
所以
例5 设随机变量X的概率密度为 ,
求(1)(2) (2) ,
(3)
解 (1)
(2)
(3)
(3)
例6 设随机变量X的分布函数为 ,
求 (
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