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教师版第四单元 圆锥曲线 第1讲 椭圆基础（5课时） 一.基本内容 （一）椭圆的定义 定义1：平面内到两个定点的距离之和等于常数2（2）的点的轨迹叫椭圆。 定义2：平面内与一个定点F和一定直线的距离之比是常数（的点的轨迹叫椭圆。 焦点在轴上的椭圆的性质； 定义 或 标准方程 图形 Y oOooo OO 顶点 ，， 对称轴 X轴，Y轴 ，长轴长2短轴长2 焦点 ； 其中 离心率 0（越大，椭圆越扁） 准线方程 焦半径 ， 点与椭圆的位置 点在椭圆外； 其余地类推 直线与椭圆位置 按⊿的符号定 弦长公式 = （三）处理圆锥曲线的有关问题注意几点： 1、用好二个定义，熟悉基本性质； 2、尽可能多用平面几何的有关性质和结论； 3、解题过程中当寻找变量间的关系较困难时，可考虑“射影法”； 4、合理的设置参数，简化运算的过程； 5、注意发挥一元二次方程中的韦达定理，判别式定理的作用。 6、当题中的条件涉及到中点和斜率的关系时，可考虑设而不求，整体运算。 第一课时 椭圆的标准方程与定义 题型1.求椭圆的标准方程：由已知的几何条件求方程；该类题是各种考试的重点。一般用待定系数法或轨迹法，关键在于消元。 题1.（1） 以F1(0，－1)，F2(0,1)为焦点的椭圆C过点P，则椭圆C的方程为________． 解析　由题意得，c＝1,2a＝PF1＋PF2＝ ＋ ＝2.故a＝，b＝1.则椭圆的标准方程为x2＋＝1. 答案　x2＋＝1 （2）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________． 解析　依题意设椭圆G的方程为＋＝1(a＞b＞0)， ∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴2a＝12， ∴a＝6，∵椭圆的离心率为.∴＝， ∴＝.解得b2＝9，∴椭圆G的方程为：＋＝1. 题型2.与定义有关的题：注意发现与椭圆定义有关的几何条件实施转化。 题2.（1）在⊿ABC中，，周长为18，则顶点A的轨迹方程 为 （2）经过定点P（-3，0）且圆相切的动圆的圆心的轨迹方程是 （3） P为椭圆＋＝1上一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，若∠F1PF2＝60°， 则·= 解析：由题意可得|F1F2|＝2，|PF1|＋|PF2|＝4， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|， 所以4＝42－3|PF1||PF2|，|PF1||PF2|＝4， ·＝||||·cos 60°＝4×＝2， 题3. (2013·课标全国Ⅰ)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 解：由已知的圆M的圆心M(－1,0) 半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3. 设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R. (1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切， 所以 |PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4. 由椭圆的定义可知，曲线C是以M、N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)． (2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2. 所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4. 若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝2. 若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q， 则＝，可求得Q(－4,0)， 所以可设l：y＝k(x＋4)． 由l与圆M相切得＝1， 解得k＝±. 当k＝时，将y＝x＋代入＋＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0， 解得x1,2＝. 所以|AB|＝|x2－x1|＝. 当k＝－时，由图形的对称性可知|AB|＝. 综上，|AB|＝2或|AB|＝. 第二课时 椭圆的几何性质 题型3.研究椭圆的性质：重点关注定义和离心率： 题4（1）已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为( )A．9　　B．1 C．1或9 D．以上都不对 解析：，解得a