结构力学讲稿十.docVIP

第十章 矩阵位移法 §10-1 概述 前面介绍的内力或位移的求解方法：力法、位移法，以及静定结构的一些求解方法（结点法、取隔离体的方法）理论上对未知量的数量没有限制，但若未知量较多，工作量太大，而实际当中的结构往往比较复杂，且多为超静定结构，所以这些方法不适合求解这些复杂的问题。 本章所介绍的矩阵位移法就是利用计算机解决结构内力和位移分析（称为有限元法—Finite Element Method，FEM。 一、基本符号 考虑一个等直杆，编号为，杆两端的结点编号为（可以大于，也可以小于），并建立局部坐标系（轴沿杆件的轴线，，从到逆时针转90，某量值上方的“-”表示局部坐标系下的量）如图： 例如： 变形前以及变形后的杆件如图： 图中各符号的含义： 变形前：直杆 变形后：弯曲杆 杆端轴向力：（沿为正，而不是拉为正、压为负） 杆端横向力：（沿为正） 杆端弯矩：（逆时针为正，注意：有些教材规定顺时针为正） 杆端沿轴向位移：（沿为正） 杆端沿横向位移：（沿为正） 杆端转角：（逆时针为正） 二、杆端力和杆端位移间的关系(思路：单个位移分别考虑，然后再综合) 1. 引起的杆端力 2. 引起的杆端力 3. 引起的杆端力 4. 引起的杆端力 5. 引起的杆端力 6. 引起的杆端力 六个杆端位移同时存在时，根据叠加原理有， 写成矩阵形式， ——称为单元的刚度方程 虚线的作用： 1)将两个结点的内力量、位移量分开； 2)未被虚线分开的量在总体坐标系中也是相邻的，每一小块(称为子块)作为一个完整（整体）小矩阵处理。 简写为， （注意是黑体） 或， 其中， ——杆端力列向量 ——杆端位移列向量 ——单元刚度矩阵 单元刚度矩阵的特点： 对称性，(原因：反力互等定理) 奇异性，（原因：没有足够的约束，杆件可以随意移动） §10-3 单元刚度矩阵的坐标转换 整体坐标系或结构坐标系：对各杆件都统一的坐标系 上节的力向量、位移向量及单元刚度矩阵都是以局部坐标系为基础的，而局部坐标系是以杆件的轴线为基础建立的，而后面要建立的结点力的平衡条件以及结点位移都是以同一个坐标系（整体坐标系）为基础，所以要将局部坐标系下的力向量、位移向量以及单元刚度矩阵转换到整体坐标系下的力向量、位移向量以及单元刚度矩阵。 一、坐标转换矩阵 设整体坐标系下的力向量和位移向量分别为 ， 根据矢量和关系， 在点将矢量和式分别沿和方向投影得， 以及， 同理，在点将矢量和式分别沿和方向投影得， 以及， 写成矩阵形式为， 简写为， 或 其中， ——坐标转换矩阵 而且，，——单位正交矩阵 同理，利用位移的矢量和关系， 可得， 或 将式和代入得， 即， ——整体坐标系下的单元刚度方程 或写为， 其中， 称为整体坐标系下的单元刚度矩阵。 将矩阵的单元按结点分块（将每一杆端力、杆端位移作为一个基本向量），可将整体坐标系下的单元刚度方程写为， 即， 其中， ，——杆端力向量 ，——杆端位移向量 为方阵 将进行矩阵相乘运算得， 整体坐标系下单元刚度矩阵的特点： 1、。 证明：因为及局部单元刚度矩阵的对称性，有 。 2、奇异性，（原因：没有足够的约束，杆件可以随意移动） 证明： 1)直接观察，第一行（列）加第四行（列），或第二行（列）加第五行（列） 2) 注意：单元刚度方程不能直接用于求解。原因：不知道杆端力。 §10-4 结构的原始刚度矩阵 矩阵位移法思路：通过研究各结点的平衡，建立一个以位移为基本未知量的位移法典型方程，或是结构的刚度方程 (将各结点位移通过结构的刚度矩阵和各结点力联系一起的方程)。求解出各结点的位移后，再通过单元的刚度方程，计算杆端力。 整体坐标和各单元局部坐标如图， 各单元的始末端号如表， 单元 始端 i 末端 j 1 2 2 3 3 4 各单元刚度矩阵的四个子块为， 刚度矩阵子块下标的含义：总刚度矩阵中刚度矩阵子块的位置，有相同下标时，在总刚度矩阵中则相加，如： 。 如果结点编号改变，例如，结构及结点、单元编号如图， 各单元的始末端号如表， 单元 始端 i 末端 j 1 2 2 3 4 3 各单元刚度矩阵的四个子块为， 结点位移列向量， ，或者 其中， 为结点的位移列向量，为结点沿结构坐标系(总体坐标系)方向的线位移和角位移。 结点力列向量(先不考虑非结点力)， ，或者 其中， 为结点的力列向量，为作用于结点上沿结构坐标系(总体坐标系) 方向的外力和力偶，当结点是支座时，代表支座处的支反力，如和。 研究结点的平衡，以结点2为例，受力如图， 由平衡条件，可得： 写成矩阵形式， 即， 根据杆端力和杆端位