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主成分分析 学习主成分分析的意义？ 研究多个变量之间的依存关系是统计分析的一个重要任务。 分析多个变量之间的依存关系时，经常遇到两个问题： 指标个数过多 指标之间相关 医学研究中广泛存在多指标问题 在心理学研究中： 描述儿童气质的指标：9个 描述儿童性格的指标：12个 描述儿童活动能力的指标：6个 描述儿童精细活动能力的指标：11个 在临床医学研究中： 描述牙槽弓形形态特征的指标：22个 衡量甲状腺机能的指标：21个 鉴别阑尾炎病型的指标：27个 描述儿童生长发育的指标：12个 儿童生长发育指标 身高，腿长，臂长 长度 肩宽，胸宽，臀骨宽 宽度 胸围，臂围，大腿围 围度 如果分别用每一个指标对儿童的生长发育做评价，评价孤立，非综合。 如果仅选用其中的几个独立的指标，失去了许多有用的信息，容易得出片面结论。 医学研究中广泛存在多重共线性问题multicollinearity 问 题 如何寻找一种合理的综合性方法，使得： 1. 减少指标变量的个数。 尽量不损失或者稍损失原指标变量中所包含的信息。(用方差衡量) 使得原本相关的指标转化为彼此不相关（用相关系数阵衡量） 多元统计分析中存在的问题和解决方法 主要存在问题 多指标问题 主要解决方法 主成分分析 因子分析 结构方程分析 什么是主成分分析？ 将彼此相关的指标变量转化为彼此不相关的指标变量； 将个数较多的指标变量转化为个数较少的指标变量。 将意义单一的指标变量转化为意义综合的指标变量。 Basic idea Original： New ： Dependent Independent More Fewer Single Comprehensive 第一节 主成分分析的基本原理 相关数据的散点图： 序号 胸围 体重 Id x1 x2 1 14 53.5 2 13 52.0 …… n 25 58.0 基本原理 原坐标系： 。x1,x2相关 。x1,x2变异均匀 新坐标系： 。Z1,Z2不相关 。Z1,Z2变异不均匀 var(Z1)var(Z2) 基本原理 坐标变换公式： Z1= cosθX1+sinθX2 Z2=-sinθX1+cosθX2 主成分分析的基本原理 Basic Principle 寻找一个适当的线性变换： 将彼此相关的变量转变为彼此不相关的新变量； 方差较大的几个新变量就能综合反应原多个变量所包含的主要信息； 新变量各自带有独特的专业含义。 主成分分析思想 见板书 主成分的性质 1）E(Zi)=0 2）var(Zi) =λi --- V(X)的特征值 3）Var(Z1)≥var(Z2)≥…≥var(Zk) 4）var(Z1)+…+var(Zk)=k 5）corr(Zi Zj )=0 6）corr(Zi, Xj )=wi j * (λi )1/ 2 7）(wi1)2+(wi2)2+…+(wik)2=1 第三节 主成分分析的方法步骤 估计主成分； 确定主成分个数； 解释主成分意义； 任务1：估计主成分estimate the principal components 将指标变量标准化为X; 计算X的方差协方差矩阵V(X); 计算矩阵V(X)的特征值Λ； 计算所有特征值对应的特征向量W。 任务2：确定主成分的个数determine the number of components 1。根据主成分的累计贡献率来确定 ---原则：累计贡献率70%-85% 2。根据特征值来确定 ---原则：特征值≥1 任务3：解释主成分实际意义explain the real meaning of the components Wij表示第j个指标变量Xj与第i个主成分Zi 的相关程度，|Wij|值越大，说明Xj对Zi 的贡献越大。 用绝对值大的Wij对应的指标变量来解释新变量Zi 的综合意义。 第四节 主成分分析在医学中的应用 减少指标变量的个数 解决多重相关性问题 专业结论 前两个特征值大于1，第三个特征值接近于1，前三个主成分的累计贡献率达到94.83％，即前三个主成分包含了原来四个指标的94.83％的信息。可以确定主成分的个数为3较合理。 在第一主成分中，指标X1和X2对其的影响最大，因此第一主成分是反映转氨酶和肝大指数的综合指标，即第一主成分可以作为急性肝炎的描述指标。 在第二主成分中，指标X3对其的影响最大，因此，第二主成