中考数学存在性问题分析及对策.doc

中考数学存在性问题分析及对策 曲阜师范大学附属中学 273165 刘伟 中考数学命题以《全日制义务教育数学课程标准》为依据，努力克服过分注重知识掌握的偏向，促进学生形成终身学习所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想方法和综合运用能力存在性问题是指根据题目所给的条件，探究是否存在符合要求的结论．此类问题的叙述一般是是否存在……，如果存在，请求出……（或请证明……）；如果不存在，请说明理由．以函数图象为载体，来研究的存在性，比较抽象，对知识的迁移能力、灵活运用能力和分析问题的能力要求高存在性问题是探索型问题中的一种典型性问题．存在性问题探索的方向是明确的．探索的结果有两种：一种是存在：另一种是不存在．即假设结论存在，根据条件推理、计算，如果求得出一个结果，并根据推理或计算过程每一步的可逆性，证得结论存在；如果推得矛盾的结论或求不出结果，则说明结论不存在．.数值的存在性问题 例1． . （1）求二次函数的最小值（用含的代数式表示） （2）若点在点的左侧，且· ①当取何值时，直线通过点； ②是否存在实数，使？如果存在，求出抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由. 分析：本题存在性问题体现在第（2）问的后半部分.通过观察图形可以知道，要使，由于即，因此，只需两个三角形同底上的高相等就可以.显然是的高线，而的高线，需由作的垂线段，在两个高的长中都含有字母，就不难求出满足条件的值.解： ∵点在点左侧， ∴，， . . ②假设存在，过点作于点，则 ∴OP=CD , . 2、最值的存在性问题 例2．如图，中，，，，为上一点，过点作，交于.连结，问点在上何处时，的面积最大？ 分析：从条件看本题是一个几何问题，而从所求结论看是求最大值的代数问题，如果设，则点在边上的运动转化为的取值变化，并且图形中的存在条件制约了的取值，所以，这些都体现了位置关系与数量关系的转化. 的面积是常量，，，的面积都是变量，面积虽然是变量，但边上的高是常量，面积是变量，但变化中始终与相似，这些都是把几何问题转化为函数问题时常用的方法或技巧. 因此把几何问题转化为代数中的函数问题是指导我们思路的灵魂.为了实现这种转化，就要把静止转化为运动，把位置关系转化为数量关系，得出函数的解析式，这样，问题可以轻松得以解决. 解：设，的面积为. 　　作于， 则. ∴. ∴. ∵ ，∴∽ ∴. ∴. ∵ 即 . 　　∴ . 3、点的存在性问题 例3．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，其对称轴与轴交于点，连接． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)线段上是否存在点，使得为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点为轴上方的抛物线上动连接、，若所得△PAC的面积为，则取何值时，相应的点有2个?分析的解析式，然后分、和三种情况讨论． 解：（1）（3）略 （2）易得，CD=5．设直线 对应的函数关系式为，则 ∴． ①当时，∵，．∴，∴； ②当时，可得； ③当时，如图，， 则∽，∴． 即，，∴． 综上，符合条件的点有三个：，，． 4、三角形的存在性问题 例4．如图，抛物线与轴交、两点， 与轴交于点，设抛物线的顶点为． （1）求该抛物线的解析式与顶点的坐标； （2）以、、为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？ （3）探究坐标轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请指出符合条件的点的位置，并直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 分析：本题存在性问题体现在第（3）问.通过观察图形可以知道，可知∽，得符合条件的点为，容易观察得出，另外点还存在两个可能的位置，使得以、、为顶点的三角形与相似. 解：（1），可知∽，得符合条件的点为． 过作交轴正半轴于，可知∽∽， 求得符合条件的点为． 过作交轴正半轴于，可知∽∽， 求得符合条件的点为． ∴符合条件的点有三个、、. 5、直线的存在型问题 例5．已知点在抛物线. （1）求抛物线的对称轴. （2）若与点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由. 分析：（1）用待定系数法确定函数解析式，从而求抛物线对称轴. （2）由轴对称性可求点坐标.结合图形进行综合分析，利用解方程组判定直线的存在性. 解：（1）∵ 在抛物线上， ∴ . ∴ , , ∵ , ∴, ∴. ∴抛物线的解析式为, 从而对称轴为. （