第四章_公钥密码-new.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ③ 设Q和R是x坐标不同的两点，Q+R的定义： 画一条通过Q、R的直线与椭圆曲线交于P1。由Q+R+P1=O 得Q+R=-P1。 ④ 点Q的倍数： 在Q点做椭圆曲线的一条切线，设切线与椭圆曲线交于点S，定义2Q=Q+Q=-S。类似地可定义3Q=Q+Q+Q+，…，等。 以上定义的加法具有加法运算的一般性质，如交换律、结合律等。 密码中普遍采用的是有限域上的椭圆曲线，是指曲线方程定义式中，所有系数都是某一有限域GF(p)中的元素（p为一大素数）。其中最为常用的是由方程 y2≡x3+ax+b(mod p) (a,b∈GF(p),4a3+27b2≠0(modp)) (4.2) 定义的曲线。 4.6.2 有限域上的椭圆曲线 例 p=23，a=b=1，4a3+27b2(mod 23)≡8≠0 ，方程(4.2)为y2≡x3+x+1，其图形是连续曲线。 (b) y 2 = x 3 + x +1 R Q P 1 -P 1 2 3 -2 1 -1 0 -4 -2 2 4 (0,1) (0,22) (1,7) (1,16) (3,10) (3,13) (4,0) (5,4) (5,19) (6,4) (6,19) (7,11) (7,12) (9,7) (9,16) (11,3) (11,20) (12,4) (12,19) (13,7) (13,16) (17,3) (17,20) (18,3) (18,20) (19,5) (19,18) 点集E23(1,1) 一般来说，Ep(a,b)由以下方式产生： ① 对每一x(0≤xp且x为整数），计算x3+ax+b(mod p)。 ② 决定①中求得的值在模p下是否有平方根，如果没有，则曲线上没有与这一x相对应的点；如果有，则求出两个平方根（y=0 时只有一个平方根）。 Ep(a,b)上的加法定义如下： 设P, Q∈Ep(a,b)，则 ① P+O=P。 ② 如果P=(x,y)，那么(x, y)+(x, -y)=O，即 (x, -y)是P的加法逆元，表示为-P。 由Ep(a,b)的产生方式知，-P也是Ep(a,b)中的点，如上例，P=(13,7)∈E23(1,1)，-P=(13, -7)， 而 -7mod 23≡16，所以-P=(13, 16)，也在E23(1,1)中。 ③ 设P=(x1,y1)，Q=(x2,y2)，P≠-Q，则P+Q=(x3,y3)由以下规则确定： x3≡λ2-x1-x2(mod p) y3≡λ(x1-x3)-y1(mod p) 其中 例 以E23(1,1)为例，设P=(3,10)，Q=(9,7)，则 所以P+Q=(17,20)，仍为E23(1,1)中的点。 若求2P则 所以2P=(7,12)。 倍点运算仍定义为重复加法，如4P=P+P+P+P。 可以看出，加法在E23(1,1)中是封闭的，且能验证还满足交换律。对一般的Ep(a,b)，可证其上的加法运算是封闭的、满足交换律，同样还能证明其上的加法逆元运算也是封闭的，所以Ep(a,b)是一个Abel群。 4.6.3 明文消息嵌入到椭圆曲线上 设明文消息为m, k是一个足够大的整数，使得将明文消息镶嵌到椭圆曲线上时，错误概率是2-k。如取k=30，对明文m，如下计算一系列x: 直到x3+ax+b(modp)有平方根，则得到点 反过来，从椭圆曲线点(x,y)得到明文消息m,只需求出 椭圆曲线上的数学困难问题 在椭圆曲线构成的Abel群Ep(a,b) : P∈Ep(a,b), P的阶是一个非常大的素数，P的阶是满足nP=O的最小正整数n。Q=kP， 已知k和P易求Q; 已知P、Q求k则是困难的 这就是椭圆曲线上的离散对数问题，可应用于构造公钥密码体制。 Diffie-Hellman密钥交换和ElGamal密码体制可推广到椭圆曲线来实现。 4.6.4 椭圆曲线上的密码 1. Diffie-Hellman密钥交换 W.Diffie和M.Hellman1976年提出 算法的安全性基于求离散对数的困难性 用户B 用户A 选择随机数xp 计算YA= gx mod p 选择随机数yp 计算YB= gy mod p YB 计算K=YA y = gxy mod p 计算K=YB x