概率统计中的Monte-Carlo 方法及其建模应用.ppt

案例分析 4 坎雷渔业公司问题 克林特坎雷经营着Massachusetts一家拥有50条鳕鱼捕捉船的渔业公司，每个工作日，渔船早上离港，中午作业完毕，每次每条船能捕鱼3500单位。有许多港口都可以停靠并出售鳕鱼。每个港口每条的价格是不确定的，并且变化很大；而且港口之间价格也不一样，另外，每个港口的需求量是有限的，如果一条船比别的船晚到一个港口，那么它的鱼就卖不出去，要倒进海洋中。 1.坎雷渔业公司问题简化 简化问题 假设渔业公司只有一条船，每次出海的成本为10,000美元，每次出海捕鱼3500单位，两个港口[格洛斯特，岩石港]可以停靠： 格洛斯特是鳕鱼的集散地，价格一直稳定在每单位3.25美元，需求几乎是无限的岩石港比较小，价格较高但波动比较大； 岩石港的价格服从均值为3.65标准差为0.20的正态分布, 需求量服从表1的离散分布； 并且我们假设两个港口之间的价格，需求量之间是相互独立的，每天渔船只能在一个港口停靠并出售它的鳕鱼。而岩石港每天的价格事先并不知道。 坎雷想挣得尽可能大的利润，哪一个港口停靠更好？ 日需求单位 0 1,000 2,000 3,000 4,000 5,000 6,000 概率 0.02 0.03 0.05 0.08 0.33 0.29 0.2 表1 岩石港鳕鱼日需求分布表 1.坎雷渔业公司问题简化 渔船在格洛斯特港停靠的利润G为： 但是，停靠在岩石港的利润计算出P没这简单，因为价格和需求量都是不确定的，每天的利润是一个随机变量，为了决定选择哪个港口，下面的问题将是很有帮助的： (a) 使用岩石港日利润的概率分布大概是什么形状？ (b) 使用岩石港利润高于使用格洛斯特港利润的概率是多少？ (c) 使用岩石港亏本的概率是多少？ (d) 使用岩石港日利润的期望值是多少？ (e) 使用岩石港日利润的标准差是多少？ 2.坎雷渔业公司初步分析 定义两个随机变量： PR=岩石港的鳕鱼价格：PR~N(3.65, 0.202) D=停靠岩石港坎雷面临的需求量：D的分布如表1 记F为停靠岩石港的日利润，那么有： 上面5个问题更简洁的表达为： (a) F的概率密度函数是什么形状？ (b) P（F1375）是多少？ (c) P（F0）是多少？ (d) F的期望值是多少？ (e) F的标准差是多少？ 注：F是两个随机变量乘积的函数，它的分布用前面的方面不易求得，我们必须运用新的方法 3. 坎雷渔业公司的随机模拟模型 模拟实验很简单，首先我们做出表2： 第二列[岩石港的需求]：服从表1所示的离散分布的随机数 第三列为第二列与3,500中的小者 第四列[岩石港的鳕鱼价格]：均值为3.65，标准差为0.2正态分布的随机数 最后一列：日利润数据，利用前面公式计算可得 日期 岩石港需求D(lbs.) Min(D, 3,500)(lbs.) 岩石港价格PR($/lb.) 日利润F($) 1 2 … 10000 表2 坎雷渔业公司电脑模拟表 4. 样本数据（即随机数）生成 产生服从离散分布D的样本数据（即随机数）： 将[0 1]进行分割，每个区间对应离散分布的可能值，并且每个区间的长度就是该概率值 用随机数发生器产生服从[0 1]间均匀分布的随机数 对于每一个[0 1]的随机数，赋予它所位于区间的长度对应的离散分布所取的值 产生服从连续分布PR的样本数据： 利用随机数发生器产生一系列服从[0, 1]均匀分布的随机数 对于第1步中产生的随机数u，计算x值使得分布函数值等于u，即利用F(x)=u求出x, 那么y就是我们要的随机数 将上述结果填入表2中，我们就得到了分析样本数据 5. 样本数据分析 利用模拟结果中的数据，可以回答前面的问题： (a) F的概率密度是什么形状？ 给出10000个样本观测值的经验分布函数和直方图 (b) P(F1375)的估计值是多少？ 计算出F大于1375的频率,它即为该估计值 我们估计停靠岩石港利润更高的概率，这个结果将支持我们是否选择岩石港 (c) P(F0)的估计值是多少？ 计算出F小于0频率，它为所求估计值 (d) F的期望的估计值是多少？ 样本均值即为F的期望的估计值 5. 样本数据分析 (e) F标准差的估计值为多少？ 样本标准差是标准差的一个很好的估计，特别是在大样本情况下，可以直接计算该值. 若这个值相对较大，意味着停靠岩石港有较大的风险 我们可以求出均值的95%置信区间，即： 练习 在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码1,2,…,10。今有放回任取两个球，求取得的第一个球号码为奇数，第二个球的号码为偶数的概率（频率估计概率） 某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为0.8, 能用1500小时的概率为0.4 , 求已用1000小时的灯泡能用到150