概率论与数理统计第五章(讲义版).ppt

第五章 第一节 定义1 命题 (切比雪夫Chebyshev不等式） 大数定律的客观背景 几个常见的大数定律 定理2（辛钦定律） 定理3（伯努利大数定律） 例3 如何测量某一未知的物理量a ,使得误差较小？ 定理1（独立同分布的中心极限定理） 定理2（棣莫佛-拉普拉斯定理）De Moivre-Laplace 注：此定理表明正态分布是二项分布的极限分布， 例1 报童沿街向行人兜售报纸，假设每位行人买报 例2 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间 例3 利用 ⑴ 契比雪夫不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的概率为0.2, 且他们是否买报是相互独立的。求报童 向100位行人兜售之后，卖掉15－30份报纸的概率。 解 设报童卖掉报纸的份数为X ， 要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独 立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以 上的概率保证分机用外线时不等待？ 解 设有X 部分机同时使用外线，则有 设有N 条外线。由题意有 由德莫佛-拉普拉斯定理得 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 N 应满足条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ⑵ 中心极限定理 分别确定需要投掷一枚均匀硬币多少次，使得出现 “正面向上”的频率在0.4到0.6之间的概率不小于0.9。 解 设 X 表示正面出现的次数（n 次试验） ⑴ 利用契比雪夫不等式 * 研究关于随机变量序列的极限问题。其中严格证明了第一章频率稳定性。 区分和一般函数收敛有什么不同 同理，也给出了落在E(X)附近区域的下限。 也可以看出方差越小，P{|X-E(X)|E}越小，所以方差是描述X与均值离散程度的一个量。 严格证明了频率稳定性的问题，进而研究随机变量均值的收敛问题。 这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性，所以，当试验次数很大时，可以用事件的频率来代替概率 或者，如何估计一大批产品的次品率。利用伯努利大数定律，当n很大时，次品的频率等于概率。 在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素产生的综合影响，如炮弹的落点与目标的偏差，受风向，风力，人为等很多因素的影响。 中心极限定理名称的由来。 对于随机变量的和可能趋于无穷，所以我们研究标准化以后的随机变量。 定理的几种等价表达形式 比较1和2哪种结果好，为什么？ 大数定律与中心极限定理 一、大数定律 二、中心极限定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 大数定律 第五章 一、 切比雪夫Chebyshev不等式 二、几个常见的大数定律 ,有: 设随机变量序列 ，如果存 在常数 a ，使得对于任意 依概率收敛于a ，记为 则称 预备知识： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 等价形式： 有 则称此式为切比雪夫不等式。 存在，则对任意 证明 设 X 为连续性（离散型类似），其密度为 设随机变量X 的数学期望 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 注：Chebyshev不等式对随机变量在以 的一个ε领域外取值的概率给出了一个上界 为中心 例1 一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7， 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率至少为多少? 解： 设X 为同时开的灯数。 由二项分布 用切比雪夫不等式 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数 解 设每毫升白细胞数为X 依题意，E(X) =7300, D(X )=7002 所求为 由切比雪夫不等式 估计每毫升白细胞数在 5200～9400 之间的概率 . 平均是7300，均方差是700， 利用切比雪夫不等式 例2 即每毫升白细胞数在5200-9400之间的概率不小于8/9。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 大量的随机现象中平均结果的稳定性 大量抛掷硬币 正面出现频率 字母使用频率 生产过程中的 废品率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1（切比雪夫大数定律） 则 即对任意的ε 0， 设 X1 , X2 , … 是一列相互独立的随机变量序列， 它们都有相同的数学期望 证明 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由切比晓夫不等式得： 所以 其取值接近于其数学期望的概率接近于1. 当n充分大时， 差不多不再是随机的了， 注： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且具有相同的数学期望 辛钦 设随机变量序列X1 , X2 , … 独立同分布， 则 辛钦大数定律中，随机变量的方差可以不存在，只要 独立同分布就可以了。 比较和定理1的条件有什么不同？ 机动 目录