2016年高考数学专题七：排列、组合、二项式定理(教师版)【教师原创】全国通用方案.doc

2016年高考数学专题七：排列、组合、二项式定理 一、2016年高考考试说明 计数原理 　　（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解 决一些简单的实际问题． 　　（2）理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题. 　　（3）理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题. 　　（4）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 二、核心知识点归纳： 一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 注意： 1．分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的． 2．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的． 二、排列与组合 1．排列与排列数 (1)排列： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A. 2．组合与组合数 (1)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C. 3．排列数、组合数的公式及性质 公 式 排列数公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝ 组合数公式 C＝ ＝ ＝ 性 质 (1)A＝n！； (2)0！＝1 (1)C＝1； (2)C＝C_； (3)C＋C＝C 备 注 n，m∈N*且m≤n 注意： 1．易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关． 2．计算A时易错算为n(n－1)(n－2)…(n－m)． 3．易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数． 4．排列问题与组合问题的识别方法： 识别方法 排列 若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关 组合 若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关 5．组合数的性质中(2)的应用主要是两个方面，一个简化运算，当m＞时，通常将计算C转化为计算C.二是列等式，由C＝C可得x＝y或x＋y＝n.性质(3)主要用于恒等变形简化运算． 三、二项式定理 1．二项式定理 (1)定理：公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理． (2)通项：Tk＋1＝Can－kbk为展开式的第k＋1项． 2．二项式系数与项的系数 (1)二项式系数：二项展开式中各项的系数C(k∈{0,1，…，n})叫做二项式系数． (2)项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念． 3．二项式系数的性质 性质 内容 对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 当k＜时，二项式系数逐渐增大； 当k＞时，二项式系数逐渐减小 最大值 当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为C n； 当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为或 4．各二项式系数的和 (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 注意 1．二项式的通项易误认为是第k项实质上是第k＋1项． 2．(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒． 3．易混淆二项式中的“项”，“项的系数”、“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k＝0,1，…，n)． 三、典型例题讲解： 一、计数原理 考点一：分类加法计数原理 1．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有(　　) A．50个　　　　　　　　　　 B．45个 C．36个 D．35个 解析：选C　利用分类