特征值与二次型.doc

第4章：矩阵的特征值及二次型 学习要点： 特征值、特征向量的概念及求法，相似矩阵的性质，实对称矩阵对角化的方法，二次型的定义、标准形及其矩阵表示，用配方法化二次型为标准形的方法，正定矩阵的概念及判定方法。 本章重点： 矩阵的特征值与特征向量向量的概念及求法，配方法化二次型为标准形的方法。 复习要求： 1.理解矩阵特征值、特征向量的概念；掌握特征值与特征向量的求法； 设为阶方阵，若存在数和非零维向量，使得 则称数为的特征值，称为相应于特征值的特征向量。 注意特征向量必为非零向量。 例如，设 因 所以2为的特征值，为相应于2的特征向量。 特征值的求法： 求特征方程的根； 特征向量的求法： 求齐次线性方程组 的非零解，称为矩阵的相应于特征值的特征向量。 几个有用的结论： （1）n阶方阵n个特征值之和等于方阵对角线元素之和（称为迹）。 （2）n阶方阵n个特征值之乘积等于方阵的行列式值。 （3）若为方阵特征多项式的重根，则相应于的特征向量线性无关的个数不会超过，即有可能相等，有可能小于。 （4）任一方阵对应于不同特征值的特征向量是线性无关的。由此结论知，方阵所有特征向量中线性无关的总数为对应于每个特征值的线性无关特征向量个数之和。 2.了解矩阵相似的定义和相似矩阵的性质； 设，都是n阶方阵，若有可逆方阵P ,使 P -1P = 则称是的相似矩阵，或说和相似，记为(，对进行运算P -1P称为对 进行相似变换，其中可逆阵P称为相似变换矩阵。 相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。 3.掌握实对称矩阵对角化的方法。 当阶矩阵有个线性无关的特征向量时，被它的特征值和特征向量唯一确定，即一定有 =P( P -1 其中P是以特征向量为列向量的方阵，(是以特征值为对角线元素的对角阵。 4.理解二次型的定义，二次型的矩阵表示； 把变量的二次齐次多项式 称为n元二次型。利用矩阵的乘法，可把二次型确切地用矩阵表示为 其中 ， 。 5.了解二次型的标准形及其矩阵描述； 只有平方项而没有交叉乘积项的二次型，即 称其为二次型的标准形。 任何一个二次型都可化为标准形。即任何一个对称阵A，总能找到可逆阵C，使成为对角阵。 6.掌握用配方法化二次型为标准形的方法； 以三个变量的二次型为例，即 先将含的各项配成一个含的一次式的完全平方，再将含的各项配成完全平方，作变量替换，可得标准形。 7.了解正定矩阵的概念，掌握正定矩阵的判定。 若二次型对任意非零向量，恒有，则称为正定二次型，也称实对称矩阵为正定矩阵。 正定矩阵的判别可利用下面的等价条件。 设为阶实对称矩阵，则下列命题等价： （1）是正定矩阵； （2）的正惯性指数为 （3）的个特征值全大于零。 例题解析： 例1 单项选择题 （1）设为阶矩阵，既是又是的特征值，既是又是的特征向量，则结论（　）成立． 　　(A) 是的特征值 (B) 是的特征值 　　(C) 是的特征向量 (D) 是的特征值 （2）设矩阵A的特征多项式，则A的特征值为 ( )． A． B． C． D．，， （3）设矩阵的特征值为0，2，则3A的特征值为 ( ) ． A．0，2 B．0，6 C．0，0 D．2，6 解：（1）由题给条件可知：=，=，那么 （+）=+=+=2 所以，是的相应于特征值2的特征向量。 正确答案：C （2）由 可知，A的特征值为，，。 正确答案：D （3）因为 可知，A的特征值为，。 正确答案：B 例2 用配方法将二次型化为标准型，并求出所作的满秩变换． 解： 　　　　 　 　　　　 　 令 （*） 即得 由式（*）解出，即得 　　　　　 或写成 　　　　　 例3 用配方法将二次型化为标准型，并求出所作的满秩变换． 解： 　　　　 　 　　 　 令 （*） 即得 由（*）式解出，即得　 或写成 例4 用配方法将二次型化为标准型，并求出所作的满秩变换． 解：