现代控制理论测试题1.doc

一、（10分）考虑如图的质量弹簧系统。其中，m为运动物体的质量，k为弹簧的弹性系数，h为阻尼器的阻尼系数，f为系统所受外力。取物体位移为状态变量x1，速度为状态变量x2，并取位移为系统输出y，外力为系统输入u，试建立系统的状态空间表达式。 二、（8分）矩阵是的常数矩阵，关于系统的状态方程式，有 时，；时，。 试确定状态转移矩阵和矩阵。 三、（10分）（1）设系统为 试求出在输入为时系统的状态响应（7分）。 (2)已知系统，写出其对偶系统（3分）。 四、（10分） （1）求系统的传递函数.（5分） (2)求系统的能控标准型（可以不求变换矩阵）。（5分） 五、(10分）（1）利用Lyapunov第一方法判断系统平衡点的稳定性（5分）： （2）取，通过求解Lyapunov方程判断系统平衡点的稳定性（5分）： 答案：一、解 ……………………………….……1分 令位移变量为x1，速度变量为x2，外力为输入u，有 ………………………………2分 于是有 ………………………………..……………1分 ……….….……………….2分 再令位移为系统的输出y，有 …………………………….……….1分 写成状态空间表达式，即矩阵形式，有 ………..……………..2分 ……………………..……….……….2分 二、解 因为系统的零输入响应是 ……………..……….……….2分 所以 ， 将它们综合起来，得 ……………….……….2分 …………….……….2分 而状态转移矩阵的性质可知，状态转移矩阵满足微分方程 和初始条件 因此代入初始时间可得矩阵为： …………….……….1分 …………………………………….……….1分 三、解 （1） ……………………………..…….……..1分 ……….….……….……..2分 ….……..1分 .……….…………………..…..1分 …………………………..…..2分 （2） ………….….……….……..2分 ……….………………...……….……..1分 四、解 (1)由状态空间表达式得到传递函数的公式为： ……….……….…………….1分 由 …………...………………..1分 得 ………..………….1分 于是 …………..2分 （2） ………...……………….1分 …...………………………1分 …………..……………1分 ……………………………………1分 从而知能控标准型为 …………………………1分 五、解 （1） …………………………….2分 ……………………………………………….1分 的特征值为，具有正实部…………………………..1分 所以系统在平衡点不稳定……………………...……….1分 （2） 令 ………………………………………….1分 …………………………………………….1分 …………………………………………..….2分 ，正定，大范围一致渐近稳定….1分