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举例 1。求下列方程的根或零点： 第二章 解线性方程组的直接方法 列主元消去法 在第k步消元前，在系数矩阵第k列的对角线以下的元素中找出绝对值最大的元。 ? 运算量 （Amount of Computation） （1）用克莱姆（Cramer）法则求解n阶线性方程组 （2） 高斯消去法: 在第1个消去步, 计算 li1(i=2,3,…,n), 有n-1次除法运算. 使aij(1)变为 aij(2) 以及使bi(1)变为bi(2)有n(n-1)次乘法运算 和 n(n-1)次加(减)法运算. 回代过程的计算 除法运算次数为n次. 乘法运算和加法运算的总次数 都为n+(n-1)+…+1= n(n-1)/2次 §2.2 三角分解法 一般计算公式 LU 分解求解线性方程组 ? 求解正定方程组的Cholesky方法(平方根法) 回顾：对称正定阵A的几个重要性质 （1）A?1 亦对称正定，且 aii 0 （2）A 的顺序主子阵 Ak 亦对称正定 （3）A 的特征值 ?i 0 （4）A 的全部顺序主子式 det ( Ak ) 0 定理2.2.2: 设矩阵A对称正定，则存在唯一的对角元全为正的下三角阵G 使得 A＝GGT ? 解三对角方程组的追赶法 迭代法研究的主要问题 1）迭代格式的构造； 2）迭代的收敛性分析； 3）收敛速度分析； 4）复杂性分析；（计算工作量） 5）初始值选择。 一、简单迭代思想 设矩阵A可逆，把矩阵A分裂为 则 三、Gauss-Seidel 迭代法 假设 第四章 解非线性方程和方程组的迭代法 在实际应用中有许多非线性方程的例子，例如： (1) 在光的衍射理论（the theory of diffraction of light)中,我们需要求 x – tan x = 0 的根 (2) 在行星轨道( planetary orbits)的计算中,对任意的a和b，我们需要求 x – a sin x = b 的根 (3) 在数学中，需要求n次多项式 xn+ a1 xn-1+...+an-1 x + an ＝0的根 Remark1：求奇数个根 Find solutions to the equation x3 - 6x2 +10x – 4 = 0 Remark2: 要区别根与奇异点 例3: 已知方程 2x – 7 - lgx＝0，求方程的含根区间，考查用迭代法解此方程的收敛性。 解：在这里我们考查在区间[3.5,4]的迭代法的收敛性 很容易验证：f (3.5)0, f (4)0 将方程变形成等价形式：x＝( lg x + 7 ) / 2 例4: 用一般迭代法求x3- x -1=0 的正实根x* 将方程化为等价方程：x＝2＋ln x k xi 0 3.000000000 1 3.098612289 2 3.130954362 3 3.141337866 4 3.144648781 5 3.145702209 6 3.146037143 7 3.146143611 另一种迭代格式： §4.4 非线性方程的牛顿法 (Newton Method of Nonlinear Equations ) 牛顿法及其几何意义 收敛性及其收敛速度 计算实例及其程序演示 思考题1 思考题2 Answer2: 线性收敛 三、计算实例及其程序演示 辅助工具: VC程序设计语言 Matlab数学软件 计算步骤 例1：用Newton法求方程 的根, 要求 例题2 求函数 的正实根 精度要求： 初值x0＝8.0 时,计算的是单根, The iterative number is 28,The numerical solution is 7.600001481 初值x0＝1.0 ,计算的是重根, The iterative number is 1356,The numerical solution is 1.198631981 小 结 (1) 当f (x)充分光滑且 x* 是f (x) =0的单根时，牛顿法在 x*的附近至少是平方收敛的。 (2) 当f (x)充分光滑且 x* 是f (x) =0的重根时，牛顿法在 x*的附近是线性收敛的。 (3) Newton法在区间[a , b]上的收敛性依赖于初值x0 的选取。 (4) Newton法的突出优点：收敛速度快 缺点：需计算函数的导数。 取初始值(1,1,1), 计算如下 N x