现代设计方法3.0章(优化设计概念与基础)(免费阅读).ppt

第3章 优化设计 ◆拉格朗日乘子法 根据拉格朗日乘子法可知 改写为 该式的几何意义为： 约束条件下目标函数极值点处的负梯度方向是各个约束函数在该点梯度的线性组合。 第3章 优化设计 4. 不等式约束优化问题的极值条件 3.2.3 优化问题的极值条件 ◆库恩－塔克条件（K-T条件） 对于ｎ元函数不等式约束优化问题 利用拉格朗日法引入m个松弛变量 使不等式约束变成等式约束 从而组成相应的拉格朗日函数 第3章 优化设计 从而组成相应的拉格朗日函数 式中， ，并有非负要求，即 根据无约束极值条件，在极值点处有 上三组方程中，第三组方程对所有可行域内的点都成立，可以从方程组中划掉；对第二组方程进行讨论： 第3章 优化设计 讨论： 若 ，则在第一组方程中没有 项，即 未起到约束作用；如果 ，则约束 对极值点起限制作用，从而 和 至少必有一个取零值，所以第二组方程可以改写为： 于是得到具有不等式约束多元函数极值条件： 第3章 优化设计 这就是著名的库恩—塔克条件。若引入起作用约束的下标集合 库恩－塔克条件又可以写为 将上式偏微分形式写成梯度形式有 或 该式表明库恩—塔克(K-T)条件的几何意义：在约束极值点处，目标函数的负梯度方向是各个约束在该点梯度的非负线性组合。 第3章 优化设计 补充问题：关于二次型 在线性代数中将二次齐次函数称为二次型，其可以表达成： 或写成矩阵形式： 其中： 并定义，若对于任意不为0的X，都有f(X)≥0，则称矩阵A正定。 第3章 优化设计 矩阵A是否正定性的判定准则有： 补充问题：关于凸规划 1）由定义判定； 2）A的所有特征值全大于0； 3）A的各阶主子式均大于0； 4）若偶次主子式大于0而奇次主子式小于0，则A负定； 目标函数的凸性判断： Hessian矩阵半正/负定 第3章 优化设计 例题1： 求二次函数 在点X0（2,1）的二次函数，并判定是否正定。 解： 第3章 优化设计 例题2： 第3章 优化设计 第3章 优化设计 第3章 优化设计 第3章 优化设计 作业： 1. P127 3-13题 2. 利用3-14题模型完成： （1）写出目标函数的海赛矩阵，判断其正定性，并判断目标函数的凸性； （2）绘制优化问题的二维解析图示； （3）判断（1,0）点是否为约束极值点； （3）K-T法求该优化问题的极值点； 3. P127 3-15题 现代设计 方法 西南科技大学 制造科学与工程学院 Company LOGO 《现代设计方法》 教材：现代设计方法 梅顺齐 何雪明 主编 2009年 华中科技大学出版社 主讲：杨 军 2012年9月 第3章 优化设计 教学目的： 优化设计概念；——3.1 优化设计概述 数学基础回顾；——3.2 优化设计数学分析基础 第3章 优化设计 3.1.1引例 例题1：边长为L的矩形做成一个无盖之箱，使之容积最大。 解：设四角剪裁边长x的矩形，则体积为 3.1 优化设计概述 目标函数 约束条件 求解结果 第3章 优化设计 例题2：人字架的优化设计 如图所示的人字架由两个钢管构成，已知其顶点所受外力2F＝3×105N；跨度2B＝152cm；钢管壁厚δ＝0.25cm，钢管材料的弹性模量E＝2.1×105MPa，材料密度ρ＝7.8×103kg/m3，许用压应力σy=420MPa。求钢管在压应力σ在不超过许用压应力σy和失稳临界应力σe的条件下，人字架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。 解：根据上述条件，可以把优化问题归结为： 求X＝[D h]T，使结构质量 m(X)→min 但应满足强度条件： σ(X)≤σy 和稳定约束条件 σ(X)≤σe。 第3章 优化设计 例题3：展开式二级减速器的优化设计问题 减速器的设计中，通常给定传递的功率P、总传动比I和输出的转速n。现要求在满足强度的条件下，使其体积最小，以达到结构紧凑，质量最轻的目的。 示例总结： 总结上述例题，其工程优化设计问题都要经过下列过程： 应用专业知识对具体问题进行分析； 确定数量关系极原始参数，建立目标函数； 根据设计要求确定约束条件； 数值求解。 需要考虑的参数：各级传动比、齿数、模数、齿宽系数、结构尺寸等等。