理论力学17—动量矩定理(免费阅读).ppt

例21 行星齿轮机构的曲柄 OO1受力矩 M 作用而绕固定铅直轴 O 转动，并带动齿轮 O1在固定水平齿轮 O 上滚动如图所示。设曲柄 OO1为均质杆，长l、重 P；齿轮 O1为均质圆盘，半径 r 、重 Q。试求曲柄的角加速度及两齿轮接触处沿切线方向的力。 解：以曲柄为研究对象，曲柄作定轴转动，列出定轴转动微分方程 O O1 M O1 O a Fn Ft Rn Rt M 由运动学关系，有 联立求解(1) ~ (4)，得 O1 Fn Ft T N at an a1 取齿轮O1分析，齿轮O1作平面运动 M O1 O a Fn Ft Rn Rt * * 突然解除约束瞬时，杆OA将绕O轴转动，不再是静力学问题。这时，? ? 0，? ? 0。需要先求出? ，再确定约束力。 应用定轴转动微分方程 应用质心运动定理 ? O FOx FOy W=mg 由前知，刚体对轴 z 的转动惯量定义为：刚体上所有质点的质量与该质点到轴 z 的垂直距离的平方乘积的算术和。即 对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式 由定义可知，转动惯量不仅与质量有关，而且与质量的分布有关；在国际单位制中，转动惯量的单位是: kg·m2。同一刚体对不同轴的转动惯量是不同的，而它对某定轴的转动惯量却是常数。因此在谈及转动惯量时，必须指明它是对哪一轴的转动惯量。 17.4 刚体对轴的转动惯量 1. 均质细杆 17.4.1 简单形状物体的转动惯量 z1 dx x x C z dx x x O l 设均质细杆长 l，质量为m，取微段 dx, 则 2. 均质薄圆环对于中心轴的转动惯量 设细圆环的质量为m，半径为R。则 3.均质圆板对于中心轴的转动惯量 设圆板的质量为m，半径为R。将圆板分为无数同心的薄圆环，任一圆环的质量为dm＝r ·2prdr, r ＝m/pR2, 于是圆板转动惯量为 17.4.1 简单形状物体的转动惯量 在工程上常用回转半径来计算刚体的转动惯量，其定义为 　　如果已知回转半径，则物体的转动惯量为 回转半径的几何意义是：假想地将物体的质量集中到一点处，并保持物体对轴的转动惯量不变，则该点到轴的距离就等于回转半径的长度。 对于几何形状相同的均质物体，其回转半径相同。 17.4.2 回转半径(惯性半径) 定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即 证明： 因 14.4.3 平行轴定理 y, y1 z1 z d x m C O z＝z1 x＝x1 r1 r y y1 x1 由质心坐标公式 由定理可知：刚体对于所有平行轴的转动惯量，过质心轴的转动惯量最小。 当坐标原点取在质心 C 时, yC＝0, Smiyi＝0, 又有Smi＝m, 于是得 14.4.3 平行轴定理 例11 如图所示，已知均质杆的质量为m，对 z1 轴的转动惯量为J1，求杆对z2 的转动惯量J2 。 解：由 ，得 平行轴定理 (1)－(2)得 z z1 z2 a b C 例17 均质直角折杆尺寸如图，其质量为3m，求其对轴O的转动惯量。 解： 组合刚体的转动惯量 例13 如图所示，质量为m的均质空心圆柱体外径为R1，内径为R2，求对中心轴 z 的转动惯量。 解：空心圆柱可看成由两个实心圆柱体组成，外圆柱体的转动惯量为J外，内圆柱体的转动惯量为J内取负值，即 设m1、m2分别为外、内圆柱体的质量，则 于是 组合刚体的转动惯量 设单位体积的质量为r ，则 代入前式得 注意到rp l (R21－R22)＝m, 则得 组合刚体的转动惯量 如图所示，O为固定点，C为质点系的质心，质点系对于固定点的动量矩为 对于任一质点mi 于是 17.5 质点系相对于质心的动量矩定理 由于 ri ri rC mi y y x z C O x z vi ri ri rC mi y y x z C O x z vi 它是质点系相对于质