理论力学典型错误运动学.doc

*********************************************************** 前言 理论力学课程是工科各专业的主干课程，又是基础力学(理论力学、材料力学、结构力学)课程的第一门课程，广大学生在学习本课程时，总感到有些难学，尤其感到作题难。为了帮助广大学生克服学习理论力学课程时的困难，我们从多年积累的学生作业及考试试卷中所犯下的诸多常见错误中，选其典型的，选编了一部分，指出错因，给出正确解答，以使广大学生从过去人们常犯的错误中，吸取教训，加深对本课程的概念、公式、定理、原理、方法的理解，以便学好本门课程。 例题思路： ? 错误解答 ? 错因分析 ? 正确解答 第二集 运动学 题2-1 杆AC沿槽以匀速向上运动，并带动杆AB及滑块B。若AB＝，且初瞬时.求当时，滑块B沿滑槽滑动的速度。 错误解答之一： 取坐标系如图2-1所示。由几何关系有 （1） 将上式的时间求导数，有 （2） 所以 因为，而当时， ，所以有 负号表示的方向与轴方向相反。 图2-1 错误解答之二： 取坐标系如图-1所示，则由几何关系有物块B的运动方程为 (3) 铰链A的运动方程为 (4) 将式（3）、（4）对时间求导数，有 (5) (6) 由式（6），有 (7) 式（7）代入式（5），得 代入，得 错因分析： 1.错误解答之一的错误在于，所选取的坐标系原点与滑块B固结，故而该坐标系是移动的。题目要求滑块B沿滑槽滑动的速度，也即相对于地球表面的速度，滑槽即地球表面，故应选取与地球表面固结的参考坐标系。式（1）中的只是AC杆上一点O坐标系相对位置，既然不是与地面固结的参考系，它对时间的一阶导数就不是滑块B相对滑槽的速度，而是相对动坐标系的相对速度。 2. 错误解答之二的错误原因在于，在所选的坐标系中，以式（3）作为滑块B的运动方程是错误的。因为在坐标系中，B点的坐标应取负值，即 (8) 正确解答： 将式（8）对时间求一阶导数，有 在坐标系中，A点的坐标为 代入上式，得 代入，则有滑块B的速度为 其方向沿轴正向。 题2-2 从水面上方高20m的岸上一点A，用长为40m的绳系住一船B。今在A处以的均速拉绳，使船靠岸，求5s末船的速度是多少？在5s内船移动了多少距离。 图 图2-2 错误解答：以船为研究对象。用绳拉船时，绳的速度为，故船的速度为［图2-2（b）］ (1) 因 (2) 故有 当时，有 在内，不改变方向，时，，故此时间内船移动的距离为 错因分析： 确定船移动速度的式（1）是错误的，因为，虽然在A处以匀速拉绳，但系在船上的绳B端的速度方向随时改变，已不再是常矢量了。式（1）中将其作为常矢量在水平方向投影，并以此方法求得的船的速度是错误的。 为了说明式（1）的错误原因，设船在时间内位移为，同时绳索减短，如图2-2（c）所示，近似地认为⊥，则 当时对上式求极限，则有 而， 所以 而不是式（1）的 正确答案： 取坐标系如图2-2所示，则船的坐标为 上式对时间求导数得船的速度为 当时船的速度为 负号表示速度方向与轴正方向相反。 当时， 当时， 之内船不改变速度方向，故在此时间内船移动的距离为 题2-3 在图示机构中，曲柄OA转动的角速度为，角加速度为，且有。试求D点的速度、加速度和轨迹。 错误解答： 因曲柄、、均作定轴转动， 且彼此平行，故它们的角速度、角加速度均 相同。又因三角板CDE绕转动，故D点 的速度和加速度分别为 D点的轨迹为以为半径、以为圆心的圆。 错因分析： 上解错误之处在于没有认出杆AB、三角板CDE均作平动，而误认为三角板CDE绕轴转动，误认为D点的轨迹为以r为半径、以为圆心的圆。 正确解答： 因,故杆AB作平动，于是有 又因做定轴转动，且给知，故有 因故三角板CDE作平动，于是D点的速度和加速度分别为 因为刚体上各点轨迹相同，故D点的轨迹与C点的轨迹相同，同为半径为的圆，但圆心位置各不相同，C点轨迹以为圆心，而D点轨迹则是为半径，圆心在D点正下方距D点处。 题2-4 杆AB在铅垂方向以匀速沿滑槽向下运动，并由B端的小轮带动半径为R的圆弧杆OC绕O轴转动，如图2-4所示。设运动开始时，试求此后任意瞬时t，圆弧杆