理论力学第8章动力学普遍定理2(免费阅读).ppt

1 [例12]水轮机转轮绕铅直轴转动，进口水速度 ,出口水速度 ,它们与切线夹角分别为q1、q2 ,水体积流量Q。求水流对转轮的转动力矩。 设叶片数为n ,水密度为r,有 经dt 时间,水由ABCD流到 abcd ，动量矩改变为： 解：以两叶片间的水流ABCD为研究对象： 此为水流所受力矩，水流对转轮的转动力矩与之等值反向。 对于定轴转动刚体 代入质点系动量矩定理： —刚体定轴转动微分方程 解决两类问题： （1）已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。　　（2）已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。 　但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理或动量定理求解。 三．刚体定轴转动微分方程 特殊情况： 若　　　　　　　,则　　　　 恒量，刚体作匀速转动或保持静止。 若　　　 常量，则? =常量，刚体作匀变速转动。 　 将　　　　　 与　　　 比较，刚体的转动惯量　 是刚体转动惯性的度量。 [例13] 提升装置中，轮A重P1 半径为 r1 ，其上作用常力矩M1 ;轮B重P2半径为 r2; 物体C 重P3 。 A、B均可视为均质圆盘。求 物体C上升的加速度。 （2）取轮B连同物体C为研究对象 解: （1）取轮A为研究对象，由刚体定轴转动微分方程： 由动量矩定理： 运动学条件： 由(1)～ (3) 得： [例14] 两根质量各为8 kg的均质细杆固连成T 字型，可绕通过O 点的水平轴转动，当OA处于水平位置时, T 形杆具有角速度? =4rad/s 。求该瞬时轴承O的反力。 解：选T 字型杆为研究对象。 受力分析如图示。 由刚体定轴转动微分方程 其中： 根据质心运动微分方程，得 其中： §8-5　质点系相对于质心的动量矩定理 　　　　 刚体平面运动微分方程 一．质点系相对于质心的动量矩定理 前面表述的动量矩定理，矩心或矩轴都是固定的，速度是绝对的。下面将证明：当质点系作一般运动时，以运动着的质心为矩心，或以过质心且作平动的轴为矩轴，动量矩定理的形式不变。 设质点系总质量为M，质心速度为vC。 任取一固定点O，将平动坐标系Cxyz铰接在质心C上。则质点系的运动可以分解为随质心的平动和相对于质心的运动。 研究任一质点Mi： Mi的位置： Mi的绝对速度： 式中： 1.质点系对固定点O的动量矩 —质心相对于动坐标系原点的矢径 —质心相对于动坐标系原点的速度 ∵动坐标系原点为质心C 又 —质点系相对于质心的动量矩 —质点系对任一固定点的动量矩 即：质点系对任一固定点的动量矩等于质心对该点的动量矩与质点系相对于质心的动量矩的矢量和。 对固定轴，有： z—过质心且平行于z轴的轴 即：质点系对任一固定轴的动量矩，等于质心对该轴的动量矩与质点系相对于过质心并与该轴平行的轴的动量矩的代数和。 由此的刚体动量矩计算： （1）平动： 仿照力矩的计算： （2）定轴转动： （3）平面运动： 例如：求半径R重W且作纯滚动的均质圆盘对滑轮轴的动量矩。 取过O且垂直于图面的轴z轴，则 2.质点系相对质心的动量矩定理 于是，由（*） 或 　 质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系。 即：质点系对质心的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对质心矩的矢量和。这就是质点系相对质心的动量矩定理。 质点系相对于质心的动量矩的改变，只与作用在质点系上的外力有关，而与内力无关。 将上式向过质心且随同质心作平动的坐标系的各轴投影： 　二．刚体平面运动微分方程 　 设有一刚体在外力系 作用下作平面运动，它的运动可以简化为平面图形S的运动来研究：刚体质心C位于平面图形S内，而且作用在刚体上的外力系可以简化为一个作用在此平面图形上的平面一般力系。平面图形的运动可视为平面图形随质心的平动(xC , yC)和绕质心的转动（?） 。　 由质心运动定理和相对质心的动量矩定理： 写成投影形式 或 上式称为刚体平面运动微分方程。 [*例15] 质量为m半径为R的均质圆轮放于倾角为? 的斜面上，由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数为f、 f ′，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。 解：取轮为研究对象。 受力分析如图示。 取直角坐标系 Oxy aC y =0，aC x =aC， 轮作平面运动，根据刚体平面运